(2,0) Seja
f(x)=\frac{6 x}{x^{2}+9}
Encontre os intervalos de crescimento e decrescimmento e extremantes locais.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\frac{6x}{x^{2}+9}
e pede os intervalos em que f cresce ou decresce e os extremos locais. O conteúdo é derivada, estudo do sinal de f' e classificação de pontos críticos.

Passo 2

Vamos calcular a derivada usando a regra do quociente: para
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
temos
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x)=6x e v(x)=x^{2}+9, logo u'(x)=6 e v'(x)=2x. Assim,
f'(x) =\frac{6\,(x^{2}+9)-6x\,(2x)}{(x^{2}+9)^{2}} =\frac{6x^{2}+54-12x^{2}}{(x^{2}+9)^{2}} =\frac{-6x^{2}+54}{(x^{2}+9)^{2}} =\frac{6(9-x^{2})}{(x^{2}+9)^{2}}.

Passo 3

Os pontos críticos vêm de f'(x)=0 ou de indeterminações. Como o denominador (x^{2}+9)^{2} nunca é zero, igualamos o numerador a zero:
9-x^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=9 \quad\Longrightarrow\quad x=-3,\;x=3.

Passo 4

Para estudar o sinal de f'(x)=6(9-x^{2})/(x^{2}+9)^{2}, note que o denominador é sempre positivo. Então o sinal de f' é o de 9-x^{2}:
  • Se |x|<3, então 9-x^{2}>0, logo f'(x)>0 (cresce).
  • Se |x|>3, então 9-x^{2}<0, logo f'(x)<0 (decresce).
Portanto
\text{cresce em }(-3,3), \quad \text{decresce em }(-\infty,-3)\cup(3,\infty).

Passo 5

Em x=-3, f' muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita), indicando mínimo local. Em x=3, f' muda de positivo para negativo, indicando máximo local. Calculando os valores:
f(-3)=\frac{6\cdot(-3)}{(-3)^{2}+9}=\frac{-18}{18}=-1, \quad f(3)=\frac{6\cdot3}{3^{2}+9}=\frac{18}{18}=1.

Resposta

Crescimento: (-3,3)
Decrescimento: (-\infty,-3)\cup(3,\infty)
Mínimo local em x=-3 com f(-3)=-1
Máximo local em x=3 com f(3)=1

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