Seja
Encontre os intervalos de crescimento e decrescimmento e extremantes locais.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede os intervalos em que
cresce ou decresce e os extremos locais. O conteúdo é derivada, estudo do sinal de
e classificação de pontos críticos.
Passo 2
Vamos calcular a derivada usando a regra do quociente: para
temos
Aqui
e
, logo
e
. Assim,
Passo 3
Os pontos críticos vêm de
ou de indeterminações. Como o denominador
nunca é zero, igualamos o numerador a zero:
Passo 4
Para estudar o sinal de
, note que o denominador é sempre positivo. Então o sinal de
é o de
:
- Se
, então , logo (cresce). - Se
, então , logo (decresce).
Portanto
Passo 5
Em
,
muda de negativo (à esquerda) para positivo (à direita), indicando mínimo local. Em
,
muda de positivo para negativo, indicando máximo local. Calculando os valores:
Resposta
Crescimento:
Decrescimento:
Mínimo local em com
Máximo local em com
Decrescimento:
Mínimo local em
Máximo local em