O tempo de espera para o carregamento de um caminhão betoneira em uma central de concreto é modelado como uma variável aleatória contínua Y, com distribuição uniforme no intervalo de 5 a 15 minutos.
Calcule a variância do tempo de espera.

Passo 1

O enunciado define a variável aleatória contínua Y que é uniformemente distribuída no intervalo de 5 a 15 minutos, e pede para calcular \mathrm{Var}(Y). O conteúdo necessário envolve a distribuição uniforme contínua e a fórmula da variância para essa distribuição.

Passo 2

Para uma variável Y com distribuição uniforme no intervalo [a,b], a densidade é
f_Y(y)=\frac{1}{b-a}\quad\text{para }a\le y\le b
e valem as fórmulas
E[Y]=\frac{a+b}{2}, \quad \mathrm{Var}(Y)=\frac{(b-a)^2}{12}.

Passo 3

No nosso caso, a=5 e b=15. Logo a média é
E[Y]=\frac{5+15}{2}=10\text{ minutos},
mas como queremos a variância, iremos usar diretamente a fórmula da variância.

Passo 4

Aplicando a fórmula da variância para a uniforme em [5,15]:
\mathrm{Var}(Y) =\frac{(15-5)^2}{12} =\frac{100}{12} =\frac{25}{3}.

Resposta

A variância do tempo de espera é \displaystyle \frac{25}{3} minutos ao quadrado.

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