Calcule e justifique: lim x 2^+ x^2+3 xx^2-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos tratando de limites em cálculo. Para resolver isso, a gente vai precisar analisar o comportamento da função quando se aproxima de 2 pela direita, ou seja, valores de maiores que 2. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente 2^2 + 3 cdot 22^2 - 4 = 4 + 64 - 4 = 100 na função para ver o que acontece:
Aqui, percebemos que o denominador dá zero, o que nos indica que a substituição direta não funciona e precisamos analisar mais a fundo.

Passo 3

Como a substituição direta resultou em uma divisão por zero, vamos investigar o comportamento da função quando (2.1)^2 + 3 cdot 2.1 = 4.41 + 6.3 = 10.71 se aproxima de 2 pela direita ( ).
Analisando o denominador :
  • Quando , é um pouco maior que 4, então é um número positivo muito pequeno próximo de zero.
Analisando o numerador :
  • Substituindo valores próximos a 2, por exemplo, :
O numerador permanece positivo e está se aproximando de 10 conforme se aproxima de 2.

Passo 4

Com o denominador se aproximando de zero por valores positivos e o numerador se aproximando de 10, a fração inteira está se comportando como um número positivo dividido por um número positivo muito pequeno, o que tende a aumentar sem limite.

Resposta

lim x 2^+ x^2+3 xx^2-4 = +infty

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