Calcule e justifique:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando
se aproxima de
pela direita (
) da expressão
. Isso envolve conceitos de limites e análise de comportamentos de funções próximas a pontos específicos. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta perto de
e analisar o que acontece com o numerador e o denominador separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador da fração:
. Substituindo
por
, temos:
Então, o numerador tende para 1 quando
se aproxima de
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador:
. Substituindo
por
, temos:
Então, o denominador tende para 0 quando
se aproxima de
.
Passo 4
Como o denominador está se aproximando de 0, precisamos verificar o comportamento da função quando
está próximo de
pela direita. Isso significa que
é um pouco maior que
, ou seja,
mas muito próximo de
.
Passo 5
Vamos entender melhor o denominador
. Podemos fatorar essa expressão:
Quando
se aproxima de
,
se aproxima de 0. Já
se aproxima de
.
Passo 6
Agora, consideramos o sinal de
quando
está se aproximando de
pela direita:
-
é positivo (já que ) -
é negativo (pois é próximo de , então é menor que )
Portanto,
é negativo.
Passo 7
Então, o denominador
está se aproximando de 0 através de valores negativos. O numerador
está se aproximando de 1, que é positivo.
Passo 8
Agora, juntando tudo:
Ou seja, o limite tende para menos infinito.