Calcule e justifique: lim x -1^+ 2 x+3x^2-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando se aproxima de pela direita ( ) da expressão . Isso envolve conceitos de limites e análise de comportamentos de funções próximas a pontos específicos. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta perto de e analisar o que acontece com o numerador e o denominador separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador da fração: 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 . Substituindo por , temos:
Então, o numerador tende para 1 quando se aproxima de .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador: (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0 . Substituindo por , temos:
Então, o denominador tende para 0 quando se aproxima de .

Passo 4

Como o denominador está se aproximando de 0, precisamos verificar o comportamento da função quando está próximo de pela direita. Isso significa que é um pouco maior que , ou seja, mas muito próximo de .

Passo 5

Vamos entender melhor o denominador x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) . Podemos fatorar essa expressão:
Quando se aproxima de , se aproxima de 0. Já se aproxima de .

Passo 6

Agora, consideramos o sinal de quando está se aproximando de pela direita:
  • é positivo (já que )
  • é negativo (pois é próximo de , então é menor que )
Portanto, é negativo.

Passo 7

Então, o denominador está se aproximando de 0 através de valores negativos. O numerador está se aproximando de 1, que é positivo.

Passo 8

Agora, juntando tudo:
2x + 3x^2 - 1 approx 1número muito pequeno negativo -infty ú
Ou seja, o limite tende para menos infinito.

Resposta

lim x -1^+ 2 x+3x^2-1 = -infty

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