Calcule e justifique.
lim x p x^4-p^4x-p

Passo 1

O enunciado pede
limxto px^4-p^4x-p
Esse tipo de limite envolve a fatoração de diferença de potências (ou interpretação como derivada de x^4 em x=p).

Passo 2

Vamos usar a fatoração de diferença de quadrados duas vezes:
x^4-p^4=(x^2-p^2)(x^2+p^2)
e em seguida
x^2-p^2=(x-p)(x+p)
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x^4-p^4=(x-p)(x+p)(x^2+p^2)

Passo 3

Substituindo na razão original, obtemos para xneq p:
x^4-p^4x-p=(x+p)(x^2+p^2)
Agora basta fazer xto p:
limxto p(x+p)(x^2+p^2)=(p+p)l(p^2+p^2r)=2pcdot2p^2=4p^3

Resposta

4p^3

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