Exercício 3: Calcule e justifique a existência (ou inexistência) dos limites das funções:

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)= dfrac1(x-4)^2,&xneq4, 3,&x=4,
e pede limxto4f(x). Aqui o conteúdo é análise de limites infinitos: quando o denominador tende a zero, o quociente pode crescer sem limite, gerando uma “assimptota vertical”.

Passo 2

Para xneq4,
f(x)=1(x-4)^2
À medida que xto4, temos (x-4)^{2}\to0 e, como o quadrado é sempre não-negativo, o quociente \frac{1}{(x-4)^{2}} cresce sem limite, sempre ficando positivo. Portanto tanto pela esquerda quanto pela direita
f(x)to+infty

Passo 3

Formalizando com o critério de limite infinito: seja M>0. Basta tomar
de<a=minl1,;1/raizMr
Se 0<|x-4|<de<a então
|f(x)|=1(x-4)^2>1de<a^2>= M,
o que mostra limxto4f(x)=+infty no sentido estendido dos reais.

Resposta

O limite diverge para , logo não existe como número real (mas em dizemos ).

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