5- Dada
f(x)=cc x^2-7 & , 0<x <= K 6x, & x>K
a) Determine um valor de K para o qual f é contínua.
b) f é derivável em K encontrado em (a)?

Passo 1

E aí, tranquilo? O exercício te dá a função
f(x)= x^2 - 7, & 0<x<= K,[6pt] dfrac6x, & x>K
e pede duas coisas:
a) achar um valor de K pra f ser contínua em x=K;
b) verificar se f é derivável nesse K.
A matéria aqui é continuidade e derivabilidade de funções definidas por partes. Pra isso vamos usar:
  • Definição de continuidade em x=K:
    limxto K^-f(x)=limxto K^+f(x)=f(K).
  • Definição de derivabilidade em x=K: as derivadas laterais existem e coincidem.]

Passo 2

Pra garantir continuidade em x=K, igualamos os limites laterais e o valor da função:
limxto K^-f(x)=K^2-7, limxto K^+f(x)=6K, f(K)=K^2-7
A condição é
K^2 - 7 = 6K
Multiplicando por K (lembrando que buscamos K>0):
K^3 - 7K = 6 ;Longrightarrow; K^3 - 7K - 6 = 0

Passo 3

Vamos achar as raízes da equação
K^3 - 7K - 6 = 0
Testando K=3:
3^3 - 7cdot3 - 6 = 27 - 21 - 6 = 0,
então (K-3) é fator. De fato
K^3 -7K -6 = (K-3)(K^2+3K+2) = (K-3)(K+1)(K+2)
As raízes são K=3,,-1,,-2. Como queremos 0<x<= K, só vale
K = 3

Passo 4

Agora vê se é derivável em x=3. Pra isso, calculamos as derivadas laterais:
  • Ramo esquerdo ( x<3): f(x)=x^2-7 f'(x)=2x
    f'-(3)=2cdot3=6
  • Ramo direito ( x>3): f(x)=6/x f'(x)=-6/x^2
    f'+(3)=-69=-23
    Como 6neq -tfrac23, as derivadas laterais não coincidem, então f não é derivável em x=3.

Resposta

a) K = 3.
b) Não, f não é derivável em x=3.

Exercícios relacionados