Seja f(x, y)=llx y^3x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0 0 & se (x, y)=(0,0)
a) f é continua em (0,0) ?
b) f é diferenciável em (0,0) ?

Passo 1

O enunciado diz que temos a função
f(x,y)= dfracx,y^3x^2+y^2,& (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,& (x,y)=(0,0)
Queremos (a) ver se f é contínua em (0,0) e (b) se ela é diferenciável lá.
Matéria envolvida: limites em várias variáveis, definição de continuidade, derivadas parciais e definição de diferenciabilidade (aproximação linear + termo de erro o(|(x,y)|)).]

Passo 2

Definição de continuidade em (0,0):
lim(x,y)to(0,0)f(x,y);=;f(0,0)=0
Para achar esse limite, uso coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta, r=raizx^2+y^2
Então, para (x,y)neq(0,0),
f(r,theta) =(rcostheta),(rsintheta)^3r^2 =r^2costheta,sin^3theta
Como |costheta|<=1 e |sintheta|<=1, temos
l|f(r,theta)r|<= r^2
Quando rto0, r^2to0. Logo
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0,
que bate com f(0,0). Portanto f é contínua em (0,0).

Passo 3

Definição de diferenciabilidade em (0,0): existe um mapa linear L(x,y)=ax+by tal que
f(x,y)=f(0,0)+L(x,y)+ol(|(x,y)|r)
  1. Calcular derivadas parciais em (0,0):
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h =0-0h=0,
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k =0-0k=0
Então o candidato a diferencial linear é L(x,y)=0cdot x+0cdot y=0.
2) Verificar o resto:
l|f(x,y)-0r|raizx^2+y^2 =|f(x,y)|r<=r^2r=r;xrightarrowrto0;0
Isso mostra que o termo de erro é o(r), logo f é diferenciável em (0,0) com diferencial nula.

Resposta

a) Sim, f é contínua em (0,0).
b) Sim, f é diferenciável em (0,0) (com fx(0,0)=fy(0,0)=0).

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