Seja
a)
f é continua em
(0,0) ?
b)
f é diferenciável em
(0,0) ?
a)
b)
Passo 1
O enunciado diz que temos a função
Queremos (a) ver se
f é contínua em
(0,0) e (b) se ela é diferenciável lá.
Matéria envolvida: limites em várias variáveis, definição de continuidade, derivadas parciais e definição de diferenciabilidade (aproximação linear + termo de erroo(|(x,y)|) ).]
Matéria envolvida: limites em várias variáveis, definição de continuidade, derivadas parciais e definição de diferenciabilidade (aproximação linear + termo de erro
Passo 2
Definição de continuidade em
(0,0) :
Para achar esse limite, uso coordenadas polares:
Então, para
(x,y)neq(0,0) ,
Como
|costheta|<=1 e
|sintheta|<=1 , temos
Quando
rto0 ,
r^2to0 . Logo
que bate com
f(0,0) . Portanto
f é contínua em
(0,0) .
Passo 3
Definição de diferenciabilidade em
(0,0) : existe um mapa linear
L(x,y)=ax+by tal que
- Calcular derivadas parciais em
:(0,0)
Então o candidato a diferencial linear é
L(x,y)=0cdot x+0cdot y=0 .
2) Verificar o resto:
2) Verificar o resto:
Isso mostra que o termo de erro é
o(r) , logo
f é diferenciável em
(0,0) com diferencial nula.
Resposta
a) Sim,
f é contínua em
(0,0) .
b) Sim,f é diferenciável em
(0,0) (com
fx(0,0)=fy(0,0)=0 ).
b) Sim,