Calcule K(t).
r(t)=4 cos t i+4 sen t j+t k

Passo 1

O enunciado pede para calcular a curvatura de uma curva no espaço definida por r(t)=4cos t,i+4sin t,j+t,k. O conteúdo envolvido é a definição de curvatura de uma curva parametrizada por arc-comprimento genérico, usando derivadas de r(t) e o produto vetorial.

Passo 2

Primeiro vamos achar as derivadas primeira e segunda de r(t):
r'(t)=l(-4sin t,,4cos t,,1r),
r''(t)=l(-4cos t,,-4sin t,,0r)
Aqui usamos regras básicas de derivação de cosseno, seno e função linear.

Passo 3

Em seguida, calculamos o produto vetorial r'(t)times r''(t). Usando a fórmula
r'(t)times r''(t)=l( a2b3 - a3b2,;a3b1 - a1b3,;a1b2 - a2b1r)
onde r'(t)=(a1,a2,a3) e r''(t)=(b1,b2,b3), obtemos
r'(t)times r''(t)=l(4sin t,,-4cos t,,16r)

Passo 4

Agora calculamos as normas necessárias:
|r'(t)times r''(t)|=raiz(4sin t)^2+(-4cos t)^2+16^2=raiz16+256=4raiz17,
|r'(t)|=raiz(-4sin t)^2+(4cos t)^2+1^2=raiz16+1=raiz17

Passo 5

Finalmente, a curvatura K(t) é dada por
K(t)=|r'(t)times r''(t)||r'(t)|^3 =4raiz17(raiz17)^3 =417

Resposta

K(t)=417

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