Nos limites a seguir, use a regra de LHospital:
lim x 0(e^x^22 cos (x))^4x^4

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto0l(e^x^22cos xr)^4x^4,
que é um caso de forma indeterminada 1^infty. Vamos usar logaritmo e then a regra de L’Hospital para a razão gerada.

Passo 2

Defina \r
L=limxto0l(e^tfracx^22cos xr)^tfrac4x^4 \r
Então\r
ln L=limxto04lnl(e^tfracx^22cos xr)x^4 \r
Chamemos o numerador de f(x)=4lnl(e^tfracx^22cos xr) e o denominador de g(x)=x^4. Note que f(0)=g(0)=0, temos 0/ 0.

Passo 3

Compute a primeira derivada:\r
\r
Em temos e , ainda / .

Passo 4

Segunda derivada:\r
\r
Em e , ainda / .

Passo 5

Terceira derivada:\r
\r
Em vemos e , ainda / .

Passo 6

Quarta derivada:
f''''(x)&=-16sec^2xtan^2x-8sec^4x, &g''''(x)&=24
Agora em x=0 temos tan0=0, sec0=1, logo
f''''(0)=-8, g''''(0)=24
Pela regra de L’Hospital aplicada 4 vezes,
ln L=limxto0f(x)g(x)=f''''(0)g''''(0)=-824=-13

Passo 7

Voltando ao valor de L:\r
L=e^ln L=e^-tfrac13

Resposta

e^-tfrac13

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