Calcule o kernel e a imagem das seguintes transformações lineares.
T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, definida por T(x, y)=(x+2 y, x-y, 0).

Passo 1

O enunciado pede o kernel (núcleo) e a imagem de T:\mathbb R^2\to\mathbb R^3 dada por
T(x,y)=(x+2y,\;x-y,\;0).
Para o kernel, vamos resolver T(x,y)=(0,0,0). Para a imagem, vamos ver a ação de T nos vetores da base canônica de \mathbb R^2 e determinar o subespaço gerado.

Passo 2

Resolvendo T(x,y)=(0,0,0)\), temos o sistema \[\begin{cases} x+2y=0,\\\ x-y=0,\\\\ 0=0. \end{cases}
Da segunda equação x-y=0\] vem \(x=y. Substituindo na primeira dá y+2y=3y=0, logo y=0 e x=0. Portanto só há a solução trivial.

Passo 3

Concluímos que
\ker(T)=\{(0,0)\}.

Passo 4

Para a imagem, calculemos
T(1,0)=(1+2\cdot0,\;1-0,\;0)=(1,1,0),
T(0,1)=(0+2\cdot1,\;0-1,\;0)=(2,-1,0).
Logo
\Im(T)=\Span\{(1,1,0),\,(2,-1,0)\}.
Como esses dois vetores são linearmente independentes, \dim\Im(T)=2. Observando que qualquer combinação (a,b,0)=s(1,1,0)+t(2,-1,0) é possível, temos ainda
\Im(T)=\{(u,v,0)\mid u,v\in\mathbb R\},
isto é, o plano z=0 em \mathbb R^3.

Resposta

\displaystyle \ker(T)=\{(0,0)\}. \displaystyle \Im(T)=\Span\{(1,1,0),\,(2,-1,0)\}=\{(u,v,0)\mid u,v\in\mathbb R\}.

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