Calcule o kernel e a imagem das seguintes transformações lineares.
, definida por
.
Passo 1
O enunciado pede o kernel (núcleo) e a imagem de
dada por
Para o kernel, vamos resolver
. Para a imagem, vamos ver a ação de
nos vetores da base canônica de
e determinar o subespaço gerado.
Passo 2
Resolvendo
Da segunda equação
. Substituindo na primeira dá
, logo
e
. Portanto só há a solução trivial.
Passo 3
Concluímos que
Passo 4
Para a imagem, calculemos
Logo
Como esses dois vetores são linearmente independentes,
. Observando que qualquer combinação
é possível, temos ainda
isto é, o plano
em
.