Calcule:
L^-1arctan (5s+2) e L^-1ln (s-3s+1)

Passo 1

O enunciado pede as inversas de Laplace
L^-1larctantfrac5s+2r e L^-1llntfracs-3s+1r
Vamos usar dois resultados padrões:
  1. L,sin(at)/t(s)=arctanl(a/sr)
  2. Lle^-alpha t-e^-beta ttr(s)=lns+betas+alpha

Passo 2

Para arctanl(5/(s+2)r) note que, sem o deslocamento,
Llsin(5t)tr(s) =arctan!l(5sr)

Passo 3

Como há s+2 em vez de s, aplicamos o teorema do deslocamento:
Le^-2tf(t)(s)=F(s+2)
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L^-1larctantfrac5s+2r =e^-2t,sin(5t)t

Passo 4

Para lnl((s-3)/(s+1)r) usamos
Lle^-alpha t-e^-beta ttr(s) =lns+betas+alpha
Comparando com lnl((s-3)/(s+1)r)=lnl((s+(-3))/(s+1)r), temos beta=-3 e alpha=1.

Passo 5

Substituindo alpha=1 e beta=-3 obtemos
L^-1llns-3s+1r =e^-!1,t-e^-!(-3),tt =e^-t-e^3tt

Resposta

L^-1larctantfrac5s+2r(t) =e^-2t,sin(5t)t, L^-1llntfracs-3s+1r(t) =e^-t-e^3tt

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