Sejam y1 e v funções diferenciáveis (não particularizar) num intervalo aberto não-degenerado I tais que y1(x0) neq 0 e v^prime(x0) neq 0, para algum x0 in I. Mostre que y1 e y2=v y1 são linearmente independentes em I, calculando o Wronskiano W(y1, y2). Mostre também que se y1 e y2=v y1 são soluções de uma EDO linear homogênea de segunda ordem y^prime prime+p(x) y^prime+q(x) y=0 (qualquer), com os coeficientes p(x), q(x) sendo funções contínuas em I, e se y1 não se anula em I, então
v^prime(x)=y1(x0)^2 v^prime(x0)y1(x)^2 e^-integralx0^x p(s) d s, x in I

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas duas funções diferenciáveis y1 e v em um intervalo aberto I com y1(x0)neq0 e v'(x0)neq0, as funções
y1(x)e y2(x)=v(x),y1(x)
são linearmente independentes, calculando o Wronskiano
W(y1,y2)(x)= y1(x) & y2(x)[6pt] y1'(x)& y2'(x)
Em seguida, supondo que y1 e y2 sejam soluções de
y''+p(x)y'+q(x)y=0
com p,q contínuas em I e y1(x)neq0 em I, usar a relação de Abel para obter
v'(x)=y1(x0)^2,v'(x0)y1(x)^2 e^-integralx0^xp(s),ds, ]

Passo 2

Calculemos primeiro o Wronskiano de y1 e y2=v,y1. Temos
y2'=v',y1+v,y1'
e portanto
W(y1,y2) =y1,y2'-y1',y2 =y1l(v',y1+v,y1'r)-y1',l(v,y1r) =v',y1^2
Em x0 isso vale
W(y1,y2)(x0) =v'(x0),y1(x0)^2neq0,
logo y1 e y2 são linearmente independentes em I.

Passo 3

Quando duas soluções de
y''+p(x)y'+q(x)y=0
são linearly independentes, o Wronskiano satisfaz a equação de Abel
W'(x)+p(x),W(x)=0
Integrando, obtemos
W(x)=W(x0),e^-integralx0^xp(s),ds

Passo 4

Como W(x)=v'(x),y1(x)^2 e W(x0)=v'(x0),y1(x0)^2, segue
v'(x),y1(x)^2 =v'(x0),y1(x0)^2, e^-integralx0^xp(s),ds
Isolando v'(x) vem
v'(x) =y1(x0)^2,v'(x0)y1(x)^2 ,e^-integralx0^xp(s),ds, xin I

Resposta

W(y1,y2)(x)=v'(x),y1(x)^2,
logo W(x0)neq0 garante independência linear, e
v'(x) =y1(x0)^2,v'(x0)y1(x)^2 ,e^-integralx0^xp(s),ds

Exercícios relacionados