Exercício 7 - Sendo f(x)=a x+b, para quais valores de a e b tem-se (f circ f)(x)= 4 x-9 ?

Passo 1

O enunciado diz que f é a função afim
f(x)=a,x+b
e que a composição (fcirc f)(x) deve ser igual a
4x - 9
O conteúdo aqui é composição de funções afins: vamos calcular f(f(x)) em função de a e b e depois igualar aos coeficientes de 4x-9.

Passo 2

Calculemos a composição:
(fcirc f)(x)=fl(f(x)r)=fl(a,x+br)=a,(a,x+b)+b=a^2,x + a,b + b

Passo 3

Queremos
a^2,x + a,b + b equiv 4x - 9
para todo x. Logo, igualamos coeficiente a coeficiente:
a^2 = 4 e a,b + b = -9

Passo 4

Da primeira equação vem
a^2=4 Longrightarrow a=2ou a=-2
Na segunda escrevemos b(a+1)=-9.
  • Se a=2, então b(2+1)=-9 implica 3b=-9 e b=-3.
  • Se a=-2, então b(-2+1)=-9 implica -1cdot b=-9 e b=9.

Resposta

(a,b) = (2,-3)ou(a,b)=(-2,9)

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