Exercício 2.35. Verifique se a função indicada é solução da EDO
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+13 y=0, com y(x)=e^{3 x} \cos (2 x)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
y'' - 6,y' + 13,y = 0
é satisfeita pela função
y(x) = e^3xcos(2x)
O conteúdo aqui é ODE linear de coeficientes constantes; vamos calcular y' e y'' usando regra do produto e depois substituir na equação.

Passo 2

Calculemos a primeira derivada y'. Usando
l(e^3xr)'=3e^3x e l(cos(2x)r)'=-2sin(2x), temos
y' = l(e^3xr)'cos(2x) + e^3x,l(cos(2x)r)' = 3e^3xcos(2x) -2e^3xsin(2x) = e^3xl(3cos(2x)-2sin(2x)r)

Passo 3

Agora a segunda derivada y''. Aplicando de novo a regra do produto a
e^3x(3cos(2x)-2sin(2x)), temos
y'' = 3e^3xl(3cos(2x)-2sin(2x)r) + e^3xl(-6sin(2x)-4cos(2x)r) = e^3xl(5cos(2x)-12sin(2x)r)

Passo 4

Substituímos y, y' e y'' em y''-6y'+13y:
y''-6y'+13y = e^3xl(5cos(2x)-12sin(2x)r) -6e^3xl(3cos(2x)-2sin(2x)r) +13e^3xcos(2x)
Fatorando e^3x e combinando coeficientes de cos(2x) e sin(2x):
e^3xl[(5-18+13)cos(2x)+(-12+12)sin(2x)r] = e^3x(0cdotcos(2x)+0cdotsin(2x)) = 0
Logo a ODE é satisfeita identicamente.

Resposta

Sim, y(x)=e^3xcos(2x) é solução de y''-6y'+13y=0.

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