Exercício 5-Dadas as funções
f(x)=ll x^2+2, & se x <= 1 4-x^2, & se x>1 e g(x)=2-3 x
determine as leis que definem f circ g e g circ f.

Passo 1

O enunciado dá duas funções em
e , verificar em que região de temos ou .

Passo 2

Para achar (fcirc g)(x)=f(2-3x), primeiro determinamos quando 2-3x<=1 e quando 2-3x>1.
Resolver
2-3x<=1
-3x<=-1implies x>=13
Logo:
  • Se x>=13, então g(x)=2-3x<=1 e usamos a lei f(u)=u^2+2.
  • Se x<13, então g(x)=2-3x>1 e usamos f(u)=4-u^2.

Passo 3

Aplicando as duas situações, obtemos
(fcirc g)(x)= (2-3x)^2+2, & se x>=13, 4-(2-3x)^2, & se x<13

Passo 4

Agora para (gcirc f)(x)=gl(f(x)r), como g(u)=2-3u, basta substituir u=f(x). Usando o caso x<=1 e x>1 de f, temos
  • Se x<=1, então f(x)=x^2+2 e
g(f(x))=2-3l(x^2+2r)=2-3x^2-6=-3x^2-4
  • Se x>1, então f(x)=4-x^2 e
g(f(x))=2-3l(4-x^2r)=2-12+3x^2=3x^2-10

Passo 5

Assim, a lei de gcirc f fica
(gcirc f)(x)= -3x^2-4, & se x<=1, 3x^2-10, & se x>1

Resposta

(fcirc g)(x)= (2-3x)^2+2, & x>=13, 4-(2-3x)^2, & x<13, (gcirc f)(x)= -3x^2-4, & x<=1, 3x^2-10, & x>1

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