Verifique, em cada caso, se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n \ln ^{2} n}.
Passo 1
O enunciado pede a classificação da série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\ln^{2}n}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos primeiro verificar a convergência absoluta, que exige estudar
Usaremos o teste da integral para séries de termo positivo.
Passo 2
Considere a função
f(x)=\frac{1}{x(\ln x)^{2}},\quad x\ge2.
Observe que f(x) é positiva, contínua e decrescente para x\ge2. Pelo teste da integral, a série \sum_{n=2}^{\infty}f(n) converge se, e somente se, a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}}
converge. Façamos a substituição u=\ln x, de modo que du=dx/x. Os limites vão de u=\ln2 até u\to\infty. Assim,
Logo a série \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln^{2}n}converge.
Passo 3
Como \sum_{n=2}^{\infty}|a_{n}| converge, a série original \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1}/(n\ln^{2}n) é absolutamente convergente. Séries absolutamente convergentes convergem sem restrição de sinal ou ordem dos termos.