Verifique, em cada caso, se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n \ln ^{2} n}.

Passo 1

O enunciado pede a classificação da série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n\ln^{2}n}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos primeiro verificar a convergência absoluta, que exige estudar
\sum_{n=2}^{\infty}\Bigl|\frac{(-1)^{n+1}}{n\ln^{2}n}\Bigr| =\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln^{2}n}.
Usaremos o teste da integral para séries de termo positivo.

Passo 2

Considere a função
f(x)=\frac{1}{x(\ln x)^{2}},\quad x\ge2.
Observe que f(x) é positiva, contínua e decrescente para x\ge2. Pelo teste da integral, a série \sum_{n=2}^{\infty}f(n) converge se, e somente se, a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}}
converge. Façamos a substituição u=\ln x, de modo que du=dx/x. Os limites vão de u=\ln2 até u\to\infty. Assim,
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{2}} =\int_{\ln2}^{\infty}\frac{du}{u^{2}} =\Bigl[-\frac{1}{u}\Bigr]_{\ln2}^{\infty} =\frac{1}{\ln2}<\infty.
Logo a série \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln^{2}n} converge.

Passo 3

Como \sum_{n=2}^{\infty}|a_{n}| converge, a série original
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1}/(n\ln^{2}n) é absolutamente convergente. Séries absolutamente convergentes convergem sem restrição de sinal ou ordem dos termos.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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