Verifique, em cada caso, se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 3^{n}}{n!}.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}3^{n}}{n!}
e pede para classificá-la em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos primeiro testar a convergência absoluta usando o teste da razão.

Passo 2

Considere a série de valores absolutos
\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^{n+1}3^{n}}{n!}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{n!}.
Aplicando o teste da razão, com a_{n} = \frac{3^{n}}{n!}, temos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\displaystyle \frac{3^{\,n+1}}{(n+1)!}}{\displaystyle \frac{3^{\,n}}{n!}} = \frac{3}{n+1},
então
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{3}{n+1} = 0.
Como esse limite é menor que 1, a série de valores absolutos converge.

Passo 3

Uma vez que
\sum |a_n| converge, concluímos que a série original converge absolutamente.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}3^{n}}{n!} é absolutamente convergente.

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