Encontre, em cada caso, o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências dadas: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{3^{n}}(x-1)^{n}.
Passo 1
O enunciado dá a série de potências centrada em x=1:
e pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência. Vamos usar o teste da raiz para determinar R e, em seguida, verificar os extremos do intervalo.
Passo 2
No teste da raiz, calculamos
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{\sqrt{n}}{3^{n}}\,(x-1)^{n}\right|} \;=\;\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{\sqrt{n}}}{3}\,\bigl|x-1\bigr| \;=\;\frac{1}{3}\,\bigl|x-1\bigr|
pois \sqrt[n]{\sqrt{n}}=n^{1/(2n)}\to1 quando n\to\infty.