Encontre, em cada caso, o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências dadas:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{3^{n}}(x-1)^{n}.

Passo 1

O enunciado dá a série de potências centrada em x=1:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{3^{n}}\,(x-1)^{n}
e pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência. Vamos usar o teste da raiz para determinar R e, em seguida, verificar os extremos do intervalo.

Passo 2

No teste da raiz, calculamos
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{\sqrt{n}}{3^{n}}\,(x-1)^{n}\right|} \;=\;\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{\sqrt{n}}}{3}\,\bigl|x-1\bigr| \;=\;\frac{1}{3}\,\bigl|x-1\bigr|
pois \sqrt[n]{\sqrt{n}}=n^{1/(2n)}\to1 quando n\to\infty.

Passo 3

A condição de convergência é L<1, ou seja,
\frac{1}{3}\,\bigl|x-1\bigr|<1 \quad\Longrightarrow\quad \bigl|x-1\bigr|<3.
Portanto o raio de convergência é
R = 3.

Passo 4

O intervalo central (sem testar extremos) é
1-R\;<\;x\;<\;1+R \quad\Longrightarrow\quad -2<x<4.
Agora testamos x=-2 e x=4:
  1. Em x=-2 temos x-1=-3, então o termo geral vira
\frac{\sqrt{n}}{3^n}\,(-3)^n =\sqrt{n}\,(-1)^n.
Como \sqrt{n}\not\to0, a série não satisfaz a condição necessária de convergência e diverge.
  1. Em x=4 temos x-1=3, o termo geral fica
\frac{\sqrt{n}}{3^n}\,3^n =\sqrt{n},
que também não tende a zero, logo a série diverge.

Resposta

O raio de convergência é R=3 e o intervalo de convergência é
(-2,\,4).

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