Encontre, em cada caso, o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências dadas:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n} e^{n}}(x-e)^{n}.

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências centrada em x_{0}=e:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}\,e^{n}}\,(x-e)^{n}\!.
O conteúdo é estudo de séries de potências, e vamos usar o teste da razão para encontrar o raio e depois testar os pontos extremos do intervalo.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão a cada termo t_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}\,e^{n}}\,(x-e)^{n}. Calculamos
\lim_{n\to\infty} \left|\frac{t_{n+1}}{t_{n}}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{n+1}\,e^{\,n+1}}\,|x-e|^{\,n+1}}{\frac{1}{\sqrt{n}\,e^{\,n}}\,|x-e|^{\,n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\;\frac{|x-e|}{e} = \frac{|x-e|}{e}.
Para convergência, exigimos \frac{|x-e|}{e}<1, o que dá raio
R = e.

Passo 3

O intervalo aberto de convergência é
e-R < x < e+R \quad\Longrightarrow\quad 0 < x < 2e.
Resta verificar o comportamento nos extremos x=0 e x=2e.

Passo 4

Em x=0, temos (x-e)=-e e a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\,e^{n}}(-e)^{n} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}.
Como 1/\sqrt{n} é decrescente e tende a zero, pelo teste da série alternada, essa série converge (condicionalmente).

Passo 5

Em x=2e, temos (x-e)=e e a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\,e^{n}}\,e^{n} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}},
que diverge pois é uma p-série com p=\tfrac12\le1.

Resposta

Raio de convergência: R = e.
Intervalo de convergência: \,[0,2e).

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