Encontre, em cada caso, o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências dadas:
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\ln n}{n}(x-2)^{n}.

Passo 1

O enunciado apresenta a série de potências centrada em x=2:
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{\ln n}{n}\,(x-2)^{n}.
O que precisamos é determinar o raio de convergência R (usando o teste da razão ou da raiz) e depois verificar a convergência nos pontos extremos x=2\pm R.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão ao valor absoluto do termo geral. Seja
a_n = (-1)^{n}\,\frac{\ln n}{n}\,(x-2)^{n}.
Então
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{(-1)^{n+1}\,\frac{\ln(n+1)}{n+1}\,(x-2)^{n+1}} {(-1)^{n}\,\frac{\ln n}{n}\,(x-2)^{n}}\right| = |x-2|\;\frac{n}{n+1}\;\frac{\ln(n+1)}{\ln n}.
Fazendo n\to\infty obtemos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = |x-2|\cdot 1\cdot 1 = |x-2|.
Para convergir pelo teste da razão, precisamos de
|x-2|<1.
Logo o raio de convergência é
R = 1.

Passo 3

Examinamos o extremo x=2+R=3. Nesse caso x-2=1 e a série vira
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{\ln n}{n}\,.
Isso é uma série alternante com termo de módulo
b_n = \frac{\ln n}{n}.
– Verificamos que \lim_{n\to\infty}b_n=0.
– Para n\ge3, a função f(x)=\tfrac{\ln x}{x} tem derivada
f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}<0 \quad\text{para }x>e,
logo b_n é decrescente a partir de n=3.
Pelo critério da série alternante de Leibniz, a série converge (condicionalmente) em x=3.

Passo 4

Examinamos o extremo x=2-R=1. Nesse caso x-2=-1 e o termo geral fica
(-1)^{n}\,\frac{\ln n}{n}\,(-1)^{n} = \frac{\ln n}{n},
ou seja, a série é
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\ln n}{n}.
Usamos o teste da integral: para x\ge2,
\int_{2}^{\infty}\frac{\ln x}{x}\,dx = \left.\frac{(\ln x)^{2}}{2}\right|_{2}^{\infty} = \infty,
logo a série diverge em x=1.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é
(1,3].

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