Encontre, em cada caso, o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências dadas:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(2 x+5)^{n}}{2^{n} \sqrt[3]{n^{2}-1}}.

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(2x+5)^{n}}{2^{n}\sqrt[3]{n^{2}-1}}
e pede o raio de convergência e o intervalo de convergência. Para isso vamos usar o teste da raiz para séries de potências e, em seguida, testar o que ocorre nos pontos finais do intervalo.

Passo 2

Denotando
a_{n}=\frac{(2x+5)^{n}}{2^{n}\sqrt[3]{n^{2}-1}},
aplicamos o teste da raiz:
\bigl|a_{n}\bigr|^{1/n} =\frac{|2x+5|}{2\,(n^{2}-1)^{1/(3n)}}.
Como
\lim_{n\to\infty}(n^{2}-1)^{1/(3n)} =\lim_{n\to\infty}n^{2/(3n)}\cdot(1-\tfrac1{n^{2}})^{1/(3n)} =1,
vem
\limsup_{n\to\infty}\bigl|a_{n}\bigr|^{1/n} =\frac{|2x+5|}{2}.
Para convergência precisamos de \limsup<1, ou seja
\frac{|2x+5|}{2}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |2x+5|<2.

Passo 3

A desigualdade |2x+5|<2 equivale a
|x+\tfrac52|<1,
então o centro é x=-\tfrac52 e o raio de convergência é
r=1.
Isto dá o intervalo aberto de convergência
-\tfrac52-1 < x < -\tfrac52+1 \quad\Longleftrightarrow\quad -\tfrac72 < x < -\tfrac32.

Passo 4

Agora testamos os extremos:
  1. Em x=-\tfrac32 temos 2x+5=2, logo a série fica
    \sum_{n=2}^{\infty}\frac{2^{n}}{2^{n}\sqrt[3]{n^{2}-1}} =\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}-1}} \sim\sum_{n}\frac1{n^{2/3}}.
    Como 2/3\le1, essa série do tipo p-série diverge.
  2. Em x=-\tfrac72 temos 2x+5=-2, logo a série vira
    \sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-2)^{n}}{2^{n}\sqrt[3]{n^{2}-1}} =\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt[3]{n^{2}-1}} \sim\sum_{n}\frac{(-1)^{n}}{n^{2/3}}.
    Aqui os termos em módulo decrescem a zero e alternam de sinal, logo converge condicionalmente pelo teste de Leibniz.

Passo 5

Portanto o intervalo de convergência inclui o ponto x=-\tfrac72 (convergência condicional) e exclui x=-\tfrac32 (diverge).

Resposta

Raio de convergência: r=1.
Intervalo de convergência:
x\in\bigl[-\tfrac72,\,-\tfrac32\bigr).

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