Calcule la integral de línea
, donde
es una curva que une el punto
con el punto
, en cada uno de los casos siguientes:
es el arco de la parábola
que va de
a q.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral de linha, que é tipo somar valores ao longo de uma curva. A integral que temos é
, e a curva
é um arco da parábola
que vai do ponto
até o ponto
. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculos com integrais e entender como parametrizar uma curva.
Passo 2
Primeiro, como a curva está definida pela parábola
, a gente pode usar
como variável da parametrização. Isso significa que, ao invés de trabalhar com
e
separadamente, a gente vai expressar tudo em termos de
. Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar
em termos de
. Para isso, derivamos
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original, ficamos com:
Simplificando os termos dentro da integral:
Passo 5
Agora, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Calculando cada uma separadamente:
Passo 6
Agora, subtraímos os resultados das duas integrais:
Resposta
O valor da integral é
.