Calcule la integral de línea integralC 2 x y d x-y d y, donde C es una curva que une el punto p=(0,0) con el punto q=(1,1), en cada uno de los casos siguientes:
C es el arco de la parábola x=y^2 que va de p a q.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral de linha, que é tipo somar valores ao longo de uma curva. A integral que temos é integralC 2xy , dx - y , dy, e a curva C é um arco da parábola x = y^2 que vai do ponto p=(0,0) até o ponto q=(1,1). Para resolver isso, vamos precisar usar cálculos com integrais e entender como parametrizar uma curva.

Passo 2

Primeiro, como a curva está definida pela parábola x = y^2, a gente pode usar y como variável da parametrização. Isso significa que, ao invés de trabalhar com x e y separadamente, a gente vai expressar tudo em termos de y. Assim, temos:
x = y^2

Passo 3

Agora, vamos encontrar dx em termos de y. Para isso, derivamos x em relação a y:
dx = ddy(y^2) , dy = 2y , dy

Passo 4

Substituindo x e dx na integral original, ficamos com:
integralC 2xy , dx - y , dy = integraly=0^1 [2(y^2)(y)(2y , dy) - y , dy]
Simplificando os termos dentro da integral:
= integral0^1 [4y^4 , dy - y , dy]

Passo 5

Agora, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
= integral0^1 4y^4 , dy - integral0^1 y , dy
Calculando cada uma separadamente:
integral0^1 4y^4 , dy = 4 cdot [y^55]0^1 = 4 cdot (15 - 0) = 45
integral0^1 y , dy = [y^22]0^1 = 12 - 0 = 12

Passo 6

Agora, subtraímos os resultados das duas integrais:
45 - 12 = 810 - 510 = 310

Resposta

O valor da integral é dfrac310.

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