Calcule la integral de línea integralC 2 x y d x-y d y, donde C es una curva que une el punto p=(0,0) con el punto q=(1,1), en cada uno de los casos siguientes:
C va de p al punto (1,0), y de éste a q (en línea recta).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral de linha, especificamente integralC (2x y , dx - y , dy), onde a curva C conecta os pontos p = (0,0) até q = (1,1) passando primeiro por (1,0) em linha reta em cada trecho. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especialmente integrais de linha. Para resolver, vamos dividir o caminho em duas partes e calcular a integral em cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a curva C é composta por duas retas:
  1. Primeira parte ( C1): de p = (0,0) até (1,0).
  2. Segunda parte ( C2): de (1,0) até q = (1,1).
Vamos calcular a integral em cada trecho separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Calculando a integral na primeira parte ( C1):
Na primeira reta, de (0,0) a (1,0), o valor de y é sempre 0. Então, vamos parametrizar essa reta.
  • Parametrização de C1:
    • x = t, onde t varia de 0 a 1.
    • y = 0.
    • Portanto, dx = dt e dy = 0.
Substituindo na integral:
integralC1 (2x y , dx - y , dy) = integral0^1 (2t cdot 0 cdot dt - 0 cdot 0) = integral0^1 0 , dt = 0
Então, a integral na primeira parte é 0.

Passo 4

Calculando a integral na segunda parte ( C2):
Na segunda reta, de (1,0) a (1,1), o valor de x é sempre 1. Vamos parametrizar essa reta.
  • Parametrização de C2:
    • x = 1.
    • y = t, onde t varia de 0 a 1.
    • Portanto, dx = 0 e dy = dt.
Substituindo na integral:
integralC2 (2x y , dx - y , dy) = integral0^1 (2 cdot 1 cdot t cdot 0 - t cdot dt) = integral0^1 -t , dt
Vamos resolver essa integral:
integral0^1 -t , dt = -[t^22]0^1 = -(12 - 0) = -12
Então, a integral na segunda parte é -12.

Resposta

Somando as integrais das duas partes:
0 + (-12) = -12
Portanto, o valor final da integral de linha é -12.

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