Calcule la integral de línea
, donde
es una curva que une el punto
con el punto
, en cada uno de los casos siguientes:
va de
al punto
, y de éste a
(en línea recta).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral de linha, especificamente
, onde a curva
conecta os pontos
até
passando primeiro por
em linha reta em cada trecho. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especialmente integrais de linha. Para resolver, vamos dividir o caminho em duas partes e calcular a integral em cada uma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a curva
é composta por duas retas:
- Primeira parte (
): de até . - Segunda parte (
): de até .
Vamos calcular a integral em cada trecho separadamente e depois somar os resultados.
Passo 3
Calculando a integral na primeira parte (
):
Na primeira reta, de
a
, o valor de
é sempre
. Então, vamos parametrizar essa reta.
- Parametrização de
: -
, onde varia de a . -
. - Portanto,
e .
-
Substituindo na integral:
Então, a integral na primeira parte é 0.
Passo 4
Calculando a integral na segunda parte (
):
Na segunda reta, de
a
, o valor de
é sempre
. Vamos parametrizar essa reta.
- Parametrização de
: -
. -
, onde varia de a . - Portanto,
e .
-
Substituindo na integral:
Vamos resolver essa integral:
Então, a integral na segunda parte é
.
Resposta
Somando as integrais das duas partes:
Portanto, o valor final da integral de linha é
.