Calcule \lambda_{\text {max }} para a radiação de corpo negro em:
temperatura ambiente (300K);

Passo 1

O que o problema pede e o que nos foi dado.
  • Pede-se calcular \lambda_{\text{max}}: o comprimento de onda no qual a radiação do corpo negro apresenta intensidade máxima.
  • Informação dada: temperatura ambiente T = 300\\ \mathrm{K}.
    Não há outros dados no enunciado; com isso usaremos a lei de deslocamento de Wien, que relaciona diretamente \lambda_{\text{max}} com T.

Passo 2

Apresentando a lei de Wien e explicando suas variáveis.
A lei de deslocamento de Wien diz:
\lambda_{\text{max}}=\frac{b}{T}
onde:
  • \lambda_{\text{max}} é o comprimento de onda (unidade: metro, \mathrm{m}) no qual a radiação espectral por unidade de comprimento de onda atinge o máximo;
  • T é a temperatura absoluta (unidade: kelvin, \mathrm{K});
  • b é a constante de Wien (unidade: \mathrm{m\cdot K}).
    A constante de Wien vale, numericamente, aproximadamente
b=2{,}8977719\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K}\approx2{,}898\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K}.
Breve intuição física (sem derivar tudo): essa lei vem de maximizar a distribuição de Planck em função do comprimento de onda — dá o comprimento de onda dominante da radiação emitida por um objeto na temperatura T.

Passo 3

Substituindo os valores na fórmula e fazendo as contas passo a passo.
Usando b=2{,}8977719\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K} e T=300\\ \mathrm{K}:
\lambda_{\text{max}}=\frac{2{,}8977719\times10^{-3}}{300}\\ \mathrm{m}.
Dividindo:
\lambda_{\text{max}}=2{,}8977719\times10^{-3}\times\frac{1}{300} =2{,}8977719\times10^{-3}\times3{,}333\ldots\times10^{-3} \approx9{,}6592397\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Arredondando de forma prática (duas casas significativas apropriadas para esse contexto):
\lambda_{\text{max}}\approx9{,}66\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Convertendo o resultado para unidades comuns usadas em óptica e termografia.
  • Em micrômetros ( \mu\mathrm{m}), sabendo que 1\\ \mu\mathrm{m}=10^{-6}\\ \mathrm{m}:
\lambda_{\text{max}}\approx9{,}66\\ \mu\mathrm{m}.
  • Em nanômetros ( \mathrm{nm}), sabendo que 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m}:
\lambda_{\text{max}}\approx9{,}66\times10^{3}\\ \mathrm{nm}=9660\\ \mathrm{nm}.

Passo 5

Interpretação física e dica para prova.
  • Resultado: o pico está em \sim9{,}7\\ \mu\mathrm{m}, isto é no infravermelho médio. Isso explica por que objetos à temperatura ambiente emitem principalmente no infravermelho (não visível).
  • Dica prática para a prova: memorize a forma \lambda_{\text{max}}=b/T e o valor aproximado b\approx2{,}898\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K}. Para contas rápidas, dividir 2{,}9\times10^{-3} por T já dá uma boa estimativa.

Resposta

\lambda_{\text{max}}\approx9{,}66\times10^{-6}\\ \mathrm{m}
\lambda_{\text{max}}\approx9{,}66\\ \mu\mathrm{m}
\lambda_{\text{max}}\approx9{,}66\times10^{3}\\ \mathrm{nm}

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