O pico da curva de radiação de um corpo negro ocorre em um comprimento de onda de 10.000 \AA. Se a temperatura é aumentada de modo que a energia total irradiada aumente de 16 vezes, determine em que comprimento de onda ocorrerá um novo máximo na intensidade da radiação.

Passo 1

O enunciado dá que o pico da curva de radiação de um corpo negro ocorre inicialmente em \,10.000\\ \AA. Depois a energia total irradiada aumenta em um fator 16. A pergunta: determinar em que comprimento de onda ocorrerá o novo máximo da intensidade da radiação.
Informações relevantes fornecidas:
  • Comprimento de onda inicial do máximo: \lambda_{1}=10.000\\ \AA.
  • Fator de aumento da energia total irradiada: \dfrac{E_{2}}{E_{1}}=16. Aqui “energia total irradiada” refere-se à potência total por unidade de área emitida pelo corpo negro (irradiância).
O que precisamos achar:
  • O novo comprimento de onda de pico \lambda_{2}.

Passo 2

Explicar a relação entre energia total irradiada e temperatura: Lei de Stefan–Boltzmann.
A lei de Stefan–Boltzmann diz que a potência total por unidade de área irradiada por um corpo negro em equilíbrio térmico é proporcional à quarta potência da temperatura absoluta. Em fórmula:
j^{\star}=\sigma T^{4},
onde:
  • j^{\star} é a energia irradiada por unidade de área (potência por área),
  • \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann ( \sigma\approx 5{,}670374\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}),
  • T é a temperatura absoluta do corpo negro em kelvin.
Como o enunciado diz que a energia total irradiada aumenta em um fator 16, isso significa:
\frac{j^{\star}_{2}}{j^{\star}_{1}}=16.
Pela lei de Stefan–Boltzmann:
\frac{\sigma T_{2}^{4}}{\sigma T_{1}^{4}}=\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)^{4}=16.
Para encontrar a razão de temperaturas, tomamos a raiz quarta:
\frac{T_{2}}{T_{1}}=16^{1/4}.
Calcule 16^{1/4}. Como 16=2^{4}, temos 16^{1/4}=2. Portanto
\frac{T_{2}}{T_{1}}=2,
ou seja, a nova temperatura é o dobro da temperatura inicial: T_{2}=2T_{1}.

Passo 3

Explicar a relação entre comprimento de onda do pico e temperatura: Lei de Deslocamento de Wien.
A Lei de Wien relaciona o comprimento de onda no qual a emissão espectral de um corpo negro é máxima com a temperatura absoluta. Em fórmula:
\lambda_{\max}\,T=b,
onde:
  • \lambda_{\max} é o comprimento de onda do pico (em metros),
  • T é a temperatura absoluta (em kelvin),
  • b é a constante de deslocamento de Wien, com valor aproximadamente b=2{,}8977719\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K}.
A fórmula mostra que \lambda_{\max} é inversamente proporcional à temperatura: se a temperatura aumenta, o comprimento de onda do máximo desloca-se para comprimentos menores (mais para o azul).
Como b é constante, para os dois estados (antes e depois do aquecimento) vale:
\lambda_{1}T_{1}=\lambda_{2}T_{2}.
Logo
\lambda_{2}=\lambda_{1}\frac{T_{1}}{T_{2}}.

Passo 4

Aplicar a razão de temperaturas encontrada no Passo 2.
Sabemos que \dfrac{T_{2}}{T_{1}}=2, portanto \dfrac{T_{1}}{T_{2}}=\dfrac{1}{2}. Substituindo na relação da Lei de Wien:
\lambda_{2}=\lambda_{1}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\lambda_{1}}{2}.

Passo 5

Calcular numericamente usando o valor dado de \lambda_{1}.
O enunciado deu \lambda_{1}=10.000\\ \AA. Então
\lambda_{2}=\frac{10.000\\ \AA}{2}=5.000\\ \AA.
Para ter também em unidades mais comuns: 1\\ \AA=0{,}1\\ \text{nm}, logo
10.000\\ \AA = 10.000\times0{,}1\\ \text{nm}=1000\\ \text{nm},
e portanto
\lambda_{2}=500\\ \text{nm}.

Passo 6

Interpretação física curta e incentivo: ao quadruplicar (no sentido da potência) a temperatura, a curva desloca para comprimentos menores; aqui duplicar a temperatura (porque a irradiância aumentou 16 vezes) levou o pico de 10.000\\ \AA (infravermelho próximo, 1000\\ \text{nm}) para 5.000\\ \AA ( 500\\ \text{nm}, na faixa visível — verde). Boa! Isso é exatamente o comportamento esperado de um corpo negro segundo as leis que acabamos de usar.

Resposta

\lambda_{2}=5.000\\ \AA = 500\\ \text{nm}

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