O pico da curva de radiação de um corpo negro ocorre em um comprimento de onda de
. Se a temperatura é aumentada de modo que a energia total irradiada aumente de 16 vezes, determine em que comprimento de onda ocorrerá um novo máximo na intensidade da radiação.
Passo 1
O enunciado dá que o pico da curva de radiação de um corpo negro ocorre inicialmente em
. Depois a energia total irradiada aumenta em um fator
. A pergunta: determinar em que comprimento de onda ocorrerá o novo máximo da intensidade da radiação.
Informações relevantes fornecidas:
- Comprimento de onda inicial do máximo:
. - Fator de aumento da energia total irradiada:
. Aqui “energia total irradiada” refere-se à potência total por unidade de área emitida pelo corpo negro (irradiância).
O que precisamos achar:
- O novo comprimento de onda de pico
.
Passo 2
Explicar a relação entre energia total irradiada e temperatura: Lei de Stefan–Boltzmann.
A lei de Stefan–Boltzmann diz que a potência total por unidade de área irradiada por um corpo negro em equilíbrio térmico é proporcional à quarta potência da temperatura absoluta. Em fórmula:
onde:
-
é a energia irradiada por unidade de área (potência por área), -
é a constante de Stefan–Boltzmann ( ), -
é a temperatura absoluta do corpo negro em kelvin.
Como o enunciado diz que a energia total irradiada aumenta em um fator
, isso significa:
Pela lei de Stefan–Boltzmann:
Para encontrar a razão de temperaturas, tomamos a raiz quarta:
Calcule
. Como
, temos
. Portanto
ou seja, a nova temperatura é o dobro da temperatura inicial:
.
Passo 3
Explicar a relação entre comprimento de onda do pico e temperatura: Lei de Deslocamento de Wien.
A Lei de Wien relaciona o comprimento de onda no qual a emissão espectral de um corpo negro é máxima com a temperatura absoluta. Em fórmula:
onde:
-
é o comprimento de onda do pico (em metros), -
é a temperatura absoluta (em kelvin), -
é a constante de deslocamento de Wien, com valor aproximadamente .
A fórmula mostra que
é inversamente proporcional à temperatura: se a temperatura aumenta, o comprimento de onda do máximo desloca-se para comprimentos menores (mais para o azul).
Como
é constante, para os dois estados (antes e depois do aquecimento) vale:
Logo
Passo 4
Aplicar a razão de temperaturas encontrada no Passo 2.
Sabemos que
, portanto
. Substituindo na relação da Lei de Wien:
Passo 5
Calcular numericamente usando o valor dado de
.
O enunciado deu
. Então
Para ter também em unidades mais comuns:
, logo
e portanto
Passo 6
Interpretação física curta e incentivo: ao quadruplicar (no sentido da potência) a temperatura, a curva desloca para comprimentos menores; aqui duplicar a temperatura (porque a irradiância aumentou 16 vezes) levou o pico de
(infravermelho próximo,
) para
(
, na faixa visível — verde). Boa! Isso é exatamente o comportamento esperado de um corpo negro segundo as leis que acabamos de usar.