Calcule \lambda_{\text {max }} para a radiação de corpo negro em:
temperatura do hélio líquido ( 4 K );

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pedem calcular \lambda_{\text{max}}, o comprimento de onda no qual a radiação de corpo negro tem máxima intensidade, para a temperatura do hélio líquido.
  • A temperatura do hélio líquido fornecida é T=4\\ \text{K}.
  • Não há outras informações no enunciado; usaremos a lei de deslocamento de Wien para corpo negro.

Passo 2

Apresentando a fórmula que vamos usar (lei de Wien) e explicando cada termo:
  • A lei de deslocamento de Wien em sua forma para o pico em comprimento de onda diz:
\lambda_{\max} \, T = b
onde:
  • \lambda_{\max} é o comprimento de onda do máximo de emissão (unidade: metro, \text{m});
  • T é a temperatura absoluta do corpo negro (unidade: kelvin, \text{K});
  • b é a constante de deslocamento de Wien (unidade: \text{m}\cdot\text{K}).
  • O valor experimental mais usado para b é b \approx 2{,}897771955\times10^{-3}\\ \text{m}\cdot\text{K}. Para contas rápidas podemos usar b\approx 2{,}898\times10^{-3}\\ \text{m}\cdot\text{K}.
  • Interpretação física rápida (sem provar a lei): quanto menor a temperatura, maior o comprimento de onda onde a emissão é máxima — ou seja, um corpo a baixa temperatura emite mais fortemente em comprimentos de onda longos (infravermelho/ondas submilimétricas).

Passo 3

Isolando \lambda_{\max} na fórmula e substituindo T=4\\ \text{K}:
\lambda_{\max}=\frac{b}{T}.
Escolhendo b=2{,}898\times10^{-3}\\ \text{m}\cdot\text{K}, temos
\lambda_{\max}=\frac{2{,}898\times10^{-3}}{4}.

Passo 4

Fazendo a divisão passo a passo (usando notação científica para facilitar o raciocínio sem calculadora):
\frac{2{,}898\times10^{-3}}{4}=0{,}7245\times10^{-3}=7{,}245\times10^{-4}\\ \text{m}.
Arredondando para três algarismos significativos:
\lambda_{\max}\approx7{,}25\times10^{-4}\\ \text{m}.

Passo 5

Converter o resultado para unidades mais intuitivas:
  • Em milímetros: 1\\ \text{mm}=10^{-3}\\ \text{m}, então
\lambda_{\max}\approx0{,}725\\ \text{mm}.
  • Em micrômetros ( \mu\text{m}): 1\\ \mu\text{m}=10^{-6}\\ \text{m}, então
\lambda_{\max}\approx725\\ \mu\text{m}.
Comentário útil: esse valor fica na região submilimétrica / micro-ondas do espectro — faz sentido para algo tão frio quanto 4\\ \text{K}.

Resposta

\lambda_{\max}\approx7{,}25\times10^{-4}\\ \text{m}
\lambda_{\max}\approx0{,}725\\ \text{mm}
\lambda_{\max}\approx725\\ \mu\text{m}

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