A função de distribuição de velocidades de um grupo de N partículas é dada por
, onde
é o número de partículas que tem velocidades entrev v e
, e
é uma constante. Nenhuma partícula tem velocidade maior que V , sendo que as velocidades podem variar entre 0 e esse valor máximo, V .
a) Esboce o gráfico da função de distribuição, ou seja,
em função de
.
b)Calcule o valor da constante a em termos de NeV .
c) Calcule a velocidade média , a velocidade quadrática média e a velocidade mais provável em termos de V.
d) Qual porcentagem das partículas tem velocidades entre a velocidade média e V ? E entre a velocidade quadrática média e V?
a) Esboce o gráfico da função de distribuição, ou seja,
b)Calcule o valor da constante a em termos de NeV .
c) Calcule a velocidade média , a velocidade quadrática média e a velocidade mais provável em termos de V.
d) Qual porcentagem das partículas tem velocidades entre a velocidade média e V ? E entre a velocidade quadrática média e V?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
-
Informação dada:
- A distribuição de velocidades é descrita por
para . - Não há partículas com
. - O total de partículas é
.
- A distribuição de velocidades é descrita por
-
O enunciado pede:
- (a) Esboçar o gráfico de
em função de . - (b) Calcular a constante
em termos de e . - (c) Calcular a velocidade média, a velocidade quadrática média (RMS) e a velocidade mais provável, em termos de
. - (d) Determinar a porcentagem das partículas com velocidades entre (i) a velocidade média e
e (ii) a velocidade quadrática média e .
- (a) Esboçar o gráfico de
Passo 2
Interpretação e esboço do gráfico pedido em (a).
- A função que queremos desenhar é
. A partir de segue que - Essa é uma função linear em
, passando pela origem ( dá ) e crescendo com inclinação , até o ponto máximo (para não há partículas). - Esboço verbal do gráfico: eixo horizontal
de a ; eixo vertical ; reta que parte do ponto e sobe linearmente até . Para a função não existe (velocidades não-negativas) e para a função vale 0 (nenhuma partícula com ).
Passo 3
Cálculo da constante
usando normalização (item b). Explicando a ideia: somando (integrando)
sobre todo o intervalo
deve-se obter o total
.
- Escrever a condição de normalização:
- Calcular a integral:
- Igualando a
e resolvendo para : - Interpretação: quanto maior
maior ; quanto maior o limite espalha-se a distribuição e diminui como .
Passo 4
Cálculo da velocidade média
(item c). Vou explicar o conceito e o cálculo integral passo a passo.
- Definição: a velocidade média é a soma das velocidades ponderada pelo número de partículas em cada intervalo, dividida por
. Em forma integral: - Substituir
: - Calcular a integral:
- Substituir o valor de
encontrado no Passo 3 ( ): - Conclusão: a velocidade média é
. Comentário didático: faz sentido que seja menor que e maior que porque a distribuição favorece velocidades mais altas (densidade aumenta com ).
Passo 5
Cálculo da velocidade quadrática média (RMS), ou seja
(item c). Vou mostrar o significado de
e o cálculo.
- Definição:
. - Substituir
: - Calcular a integral:
- Substituir
: - Portanto
- Observação: numericamente
, que é menor que e maior que , então aqui (o que é comum, porque RMS penaliza quadrados).
Passo 6
Cálculo da velocidade mais provável (moda) (item c). Explicando o conceito e aplicando ao nosso caso.
- Conceito: a velocidade mais provável é o valor de
que maximiza a densidade . - Aqui
é uma função crescente de no intervalo . Logo, o máximo ocorre no extremo direito . - Conclusão: a velocidade mais provável é
. - Observação didática: em distribuições contínuas a moda pode estar num extremo se a densidade for monótona; isso é aceitável — significa que o maior “peso” da densidade está próximo do limite superior.
Passo 7
Cálculo das porcentagens pedidas em (d). Explico a fórmula geral e aplico aos dois casos.
- Proporção das partículas com velocidades entre
e : - Usando
(do Passo 3) simplifica-se muito:
Agora aplicar para cada caso:
(i) Para
:
- Calcular
. - Então a proporção é
- Em porcentagem:
(ii) Para
:
- Calcular
. - Então a proporção é
- Em porcentagem:
Resposta
(a) Gráfico:
é uma reta passando por
e
, crescente no intervalo
.
(b)
.
(c)
(d) Percentagens: entre
e
:
entre e
:
entre