A função de distribuição de velocidades de um grupo de N partículas é dada por d N_{v}=a v d v, onde d N_{v} é o número de partículas que tem velocidades entrev v e v+d v, e a é uma constante. Nenhuma partícula tem velocidade maior que V , sendo que as velocidades podem variar entre 0 e esse valor máximo, V .
a) Esboce o gráfico da função de distribuição, ou seja, d N_{v} / d v em função de v.
b)Calcule o valor da constante a em termos de NeV .
c) Calcule a velocidade média , a velocidade quadrática média e a velocidade mais provável em termos de V.
d) Qual porcentagem das partículas tem velocidades entre a velocidade média e V ? E entre a velocidade quadrática média e V?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
  • Informação dada:
    • A distribuição de velocidades é descrita por \,dN_v = a\,v\,dv\, para 0 \le v \le V.
    • Não há partículas com v>V.
    • O total de partículas é N.
  • O enunciado pede:
    • (a) Esboçar o gráfico de \dfrac{dN_v}{dv} em função de v.
    • (b) Calcular a constante a em termos de N e V.
    • (c) Calcular a velocidade média, a velocidade quadrática média (RMS) e a velocidade mais provável, em termos de V.
    • (d) Determinar a porcentagem das partículas com velocidades entre (i) a velocidade média e V e (ii) a velocidade quadrática média e V.

Passo 2

Interpretação e esboço do gráfico pedido em (a).
  • A função que queremos desenhar é \dfrac{dN_v}{dv}. A partir de \,dN_v = a\,v\,dv\, segue que \frac{dN_v}{dv}=a\,v.
  • Essa é uma função linear em v, passando pela origem ( v=0 0) e crescendo com inclinação a, até o ponto máximo v=V (para v>V não há partículas).
  • Esboço verbal do gráfico: eixo horizontal v de 0 a V; eixo vertical \dfrac{dN_v}{dv}; reta que parte do ponto (0,0) e sobe linearmente até (V,aV). Para v<0 a função não existe (velocidades não-negativas) e para v>V a função vale 0 (nenhuma partícula com v>V).

Passo 3

Cálculo da constante a usando normalização (item b). Explicando a ideia: somando (integrando) dN_v sobre todo o intervalo [0,V] deve-se obter o total N.
  • Escrever a condição de normalização: N=\int_{0}^{V} dN_v=\int_{0}^{V} a\,v\,dv.
  • Calcular a integral: \int_{0}^{V} a\,v\,dv = a\left[\frac{v^2}{2}\right]_{0}^{V} = a\,\frac{V^2}{2}.
  • Igualando a N e resolvendo para a: a\,\frac{V^2}{2}=N \quad\Rightarrow\quad a=\frac{2N}{V^2}.
  • Interpretação: quanto maior N maior a; quanto maior o limite V espalha-se a distribuição e a diminui como 1/V^2.

Passo 4

Cálculo da velocidade média \bar v (item c). Vou explicar o conceito e o cálculo integral passo a passo.
  • Definição: a velocidade média é a soma das velocidades ponderada pelo número de partículas em cada intervalo, dividida por N. Em forma integral: \bar v = \frac{1}{N}\int_{0}^{V} v\,dN_v.
  • Substituir dN_v=a\,v\,dv: \bar v = \frac{1}{N}\int_{0}^{V} v\,(a\,v\,dv)=\frac{a}{N}\int_{0}^{V} v^{2}dv.
  • Calcular a integral: \int_{0}^{V} v^{2}dv=\left[\frac{v^{3}}{3}\right]_{0}^{V}=\frac{V^{3}}{3}.
  • Substituir o valor de a encontrado no Passo 3 ( a=\dfrac{2N}{V^2}): \bar v=\frac{a}{N}\cdot\frac{V^{3}}{3}=\frac{2N}{V^{2}}\cdot\frac{1}{N}\cdot\frac{V^{3}}{3}=\frac{2V}{3}.
  • Conclusão: a velocidade média é \bar v=\dfrac{2V}{3}. Comentário didático: faz sentido que seja menor que V e maior que V/2 porque a distribuição favorece velocidades mais altas (densidade aumenta com v).

Passo 5

Cálculo da velocidade quadrática média (RMS), ou seja v_{\rm rms}=\sqrt{\langle v^{2}\rangle} (item c). Vou mostrar o significado de \langle v^{2}\rangle e o cálculo.
  • Definição: \langle v^{2}\rangle=\dfrac{1}{N}\int_{0}^{V} v^{2}\,dN_v.
  • Substituir dN_v=a\,v\,dv: \langle v^{2}\rangle=\frac{a}{N}\int_{0}^{V} v^{3}dv.
  • Calcular a integral: \int_{0}^{V} v^{3}dv=\left[\frac{v^{4}}{4}\right]_{0}^{V}=\frac{V^{4}}{4}.
  • Substituir a=\dfrac{2N}{V^{2}}: \langle v^{2}\rangle=\frac{2N}{V^{2}}\cdot\frac{1}{N}\cdot\frac{V^{4}}{4}=\frac{V^{2}}{2}.
  • Portanto v_{\rm rms}=\sqrt{\langle v^{2}\rangle}=\sqrt{\frac{V^{2}}{2}}=\frac{V}{\sqrt{2}}.
  • Observação: numericamente \dfrac{V}{\sqrt{2}}\approx 0,7071\,V, que é menor que V e maior que \bar v=\dfrac{2V}{3}\approx0,6667\,V, então v_{\rm rms}>\bar v aqui (o que é comum, porque RMS penaliza quadrados).

Passo 6

Cálculo da velocidade mais provável (moda) (item c). Explicando o conceito e aplicando ao nosso caso.
  • Conceito: a velocidade mais provável é o valor de v que maximiza a densidade \dfrac{dN_v}{dv}.
  • Aqui \dfrac{dN_v}{dv}=a\,v é uma função crescente de v no intervalo [0,V]. Logo, o máximo ocorre no extremo direito v=V.
  • Conclusão: a velocidade mais provável é v_{\text{mp}}=V.
  • Observação didática: em distribuições contínuas a moda pode estar num extremo se a densidade for monótona; isso é aceitável — significa que o maior “peso” da densidade está próximo do limite superior.

Passo 7

Cálculo das porcentagens pedidas em (d). Explico a fórmula geral e aplico aos dois casos.
  • Proporção das partículas com velocidades entre v_1 e V: \text{proporção}=\frac{1}{N}\int_{v_1}^{V} dN_v=\frac{1}{N}\int_{v_1}^{V} a\,v\,dv=\frac{a}{N}\left[\frac{v^{2}}{2}\right]_{v_1}^{V}=\frac{a}{N}\cdot\frac{V^{2}-v_1^{2}}{2}.çã
  • Usando N=\dfrac{aV^{2}}{2} (do Passo 3) simplifica-se muito: \text{proporção}=\frac{V^{2}-v_1^{2}}{V^{2}}=1-\frac{v_1^{2}}{V^{2}}.çã
Agora aplicar para cada caso:
(i) Para v_1=\bar v=\dfrac{2V}{3}:
  • Calcular \dfrac{\bar v^{2}}{V^{2}}=\dfrac{(2V/3)^{2}}{V^{2}}=\dfrac{4}{9}.
  • Então a proporção é 1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}.
  • Em porcentagem: \frac{5}{9}\approx0,555\ldots = 55,56\%.
(ii) Para v_1=v_{\rm rms}=\dfrac{V}{\sqrt{2}}:
  • Calcular \dfrac{v_{\rm rms}^{2}}{V^{2}}=\dfrac{(V/\sqrt{2})^{2}}{V^{2}}=\frac{1}{2}.
  • Então a proporção é 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
  • Em porcentagem: \frac{1}{2}=0,5 = 50\%.

Resposta

(a) Gráfico: \dfrac{dN_v}{dv}=a\,v é uma reta passando por (0,0) e (V,aV), crescente no intervalo [0,V].
(b) a=\dfrac{2N}{V^{2}}.
(c) \bar v=\dfrac{2V}{3}
v_{\rm rms}=\dfrac{V}{\sqrt{2}}
v_{\text{mais provável}}=Vá
(d) Percentagens: entre \bar v e V: \dfrac{5}{9}\approx55,56\%
entre v_{\rm rms} e V: \dfrac{1}{2}=50\%

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