Calcule o vetor de estado
no tempo
. Neste instante, a observável
é medida; qual é o valor médio dos resultados que podem ser obtidos? Dê uma interpretação geométrica
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular o vetor de estado $ |\psi(t)\rangle $ no tempo $ t $ e, nesse instante, medir a observável $ S_x $. Depois, precisamos encontrar o valor médio dos resultados dessa medição e dar uma interpretação geométrica.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de mecânica quântica, como evolução temporal dos estados quânticos, operadores observáveis e valores esperados. Vamos usar a equação de Schrödinger para encontrar $ |\psi(t)\rangle $ e depois calcular o valor esperado de $ S_x $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o vetor de estado $ |\psi(t)\rangle $ descreve o estado quântico do sistema no tempo $ t $. Sua evolução é governada pela equação de Schrödinger dependente do tempo, que é:
Aqui, $ \hat{H} $ é o operador Hamiltoniano, que representa a energia total do sistema.
Passo 3
Para resolver essa equação, precisamos conhecer o Hamiltoniano do sistema. Suponhamos que temos um sistema de spin-1/2 em um campo magnético uniforme ao longo do eixo $ z $. Nesse caso, o Hamiltoniano é dado por:
Onde:
- $ \omega $ é uma constante relacionada ao campo magnético.
- $ \hat{S}_z $ é o operador de spin na direção $ z $.
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação de Schrödinger. A solução geral para o vetor de estado é:
Onde $ |\psi(0)\rangle $ é o estado inicial do sistema.
Passo 5
Vamos supor que o estado inicial seja alinhado ao longo do eixo $ x $, ou seja:
Sabemos que $ |+\rangle_x $ pode ser escrito em termos dos estados de spin no eixo $ z $:
Passo 6
Aplicando o operador de evolução temporal, temos:
Como $ \hat{H} = \omega \hat{S}_z $, e $ \hat{S}_z |+\rangle_z = \frac{\hbar}{2} |+\rangle_z $ e $ \hat{S}_z |-\rangle_z = -\frac{\hbar}{2} |-\rangle_z $, podemos simplificar:
Passo 7
Agora, vamos medir a observável $ S_x $. O valor esperado de $ S_x $ é dado por:
Sabemos que $ \hat{S}_x $ tem a seguinte representação em termos dos estados de spin no eixo $ z $:
Passo 8
Calculando o valor esperado:
Simplificando, obtemos:
Resposta
O valor médio de $ S_x $ no tempo $ t $ é:
Interpretação Geométrica: O valor esperado de $ S_x $ oscila no tempo com uma frequência $ \omega $. Geometricamente, isso representa a precessão do vetor de spin ao redor do eixo $ z $. Conforme o tempo avança, a projeção do vetor de spin na direção $ x $ varia sinusoidalmente, indicando que o spin está girando em torno do eixo $ z $.