Calcule o vetor de estado |psi(t)rang<= no tempo t. Neste instante, a observável Sx é medida; qual é o valor médio dos resultados que podem ser obtidos? Dê uma interpretação geométrica

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular o vetor de estado $ |\psi(t)\rangle $ no tempo $ t $ e, nesse instante, medir a observável $ S_x $. Depois, precisamos encontrar o valor médio dos resultados dessa medição e dar uma interpretação geométrica.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de mecânica quântica, como evolução temporal dos estados quânticos, operadores observáveis e valores esperados. Vamos usar a equação de Schrödinger para encontrar $ |\psi(t)\rangle $ e depois calcular o valor esperado de $ S_x $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o vetor de estado $ |\psi(t)\rangle $ descreve o estado quântico do sistema no tempo $ t $. Sua evolução é governada pela equação de Schrödinger dependente do tempo, que é:
|psi(t)rang<=
Aqui, $ \hat{H} $ é o operador Hamiltoniano, que representa a energia total do sistema.

Passo 3

Para resolver essa equação, precisamos conhecer o Hamiltoniano do sistema. Suponhamos que temos um sistema de spin-1/2 em um campo magnético uniforme ao longo do eixo $ z $. Nesse caso, o Hamiltoniano é dado por:
z
Onde:
  • $ \omega $ é uma constante relacionada ao campo magnético.
  • $ \hat{S}_z $ é o operador de spin na direção $ z $.

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação de Schrödinger. A solução geral para o vetor de estado é:
|psi(t)rang<= = e^-iHt/hbar |psi(0)rang<=
Onde $ |\psi(0)\rangle $ é o estado inicial do sistema.

Passo 5

Vamos supor que o estado inicial seja alinhado ao longo do eixo $ x $, ou seja:
x
Sabemos que $ |+\rangle_x $ pode ser escrito em termos dos estados de spin no eixo $ z $:
|psi(0)rang<= = |+rang<=x

Passo 6

Aplicando o operador de evolução temporal, temos:
|psi(t)rang<= = e^-iHt/hbar 1raiz2 ( |+rang<=z + |-rang<=z )
Como $ \hat{H} = \omega \hat{S}_z $, e $ \hat{S}_z |+\rangle_z = \frac{\hbar}{2} |+\rangle_z $ e $ \hat{S}_z |-\rangle_z = -\frac{\hbar}{2} |-\rangle_z $, podemos simplificar:
H = omega Sz

Passo 7

Agora, vamos medir a observável $ S_x $. O valor esperado de $ S_x $ é dado por:
Sx
Sabemos que $ \hat{S}_x $ tem a seguinte representação em termos dos estados de spin no eixo $ z $:
Sx

Passo 8

Calculando o valor esperado:
lang<= Sx rang<= = hbar2 ( e^i omega t / 2 lang<= +|z + e^-i omega t / 2 lang<= -|z ) 0 & 1 1 & 0 1raiz2 ( e^-i omega t / 2 |+rang<=z + e^i omega t / 2 |-rang<=z )
Simplificando, obtemos:
lang<= Sx rang<= = hbar2 cos(omega t)

Resposta

O valor médio de $ S_x $ no tempo $ t $ é:
Sx
Interpretação Geométrica: O valor esperado de $ S_x $ oscila no tempo com uma frequência $ \omega $. Geometricamente, isso representa a precessão do vetor de spin ao redor do eixo $ z $. Conforme o tempo avança, a projeção do vetor de spin na direção $ x $ varia sinusoidalmente, indicando que o spin está girando em torno do eixo $ z $.

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