Calcule o Laplaciano de

Passo 1

O enunciado pede para calcular o Laplaciano da função de três variáveis f(x,y,z)=x y+e^y z. O conteúdo aqui é cálculo de derivadas parciais de segunda ordem e uso da definição nabla^2 f=fxx+fyy+fzz.

Passo 2

Primeiro, derivamos em relação a x: sabemos que y é tratado como constante, então
fx=partialpartial x(x y)=y,
portanto
fxx=partialpartial x(y)=0

Passo 3

Agora, derivamos em relação a y: temos duas parcelas em f. Para x y a derivada é x, e para e^y z usamos a regra da cadeia:
fy=partialpartial y(x y)+partialpartial y(e^y z)=x+z e^y z
Derivando novamente:
fyy=partialpartial y(x+z e^y z)=0+z^2 e^y z

Passo 4

Por fim, derivamos em relação a z: para x y é zero e para e^y z temos
fz=partialpartial z(e^y z)=y e^y z,
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fzz=partialpartial z(y e^y z)=y^2 e^y z

Passo 5

Somando as segundas derivadas de acordo com a definição do Laplaciano, obtemos
nabla^2 f=fxx+fyy+fzz=0+z^2 e^y z+y^2 e^y z=(z^2+y^2)e^y z

Resposta

(z2+y2)e^{y z}

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