Calcule o rotF para determinar se os seguintes campos são conservativos ou não:

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional (rot F) do campo vetorial F(x,y,z)=xyz^3,i+(xy-yz^2),j+(2xy^2-z),k e usar esse resultado para ver se o campo é conservativo. O conteúdo é cálculo de rotacional em R^3 e precisamos saber que um campo é conservativo em uma região simplesmente conexa se, e só se, seu rotacional for o vetor nulo.

Passo 2

O rotacional de F=(F1,F2,F3) é definido por
nablatimesF=gl(partial F3partial y-partial F2partial zgr)i-gl(partial F3partial x-partial F1partial zgr)j+gl(partial F2partial x-partial F1partial ygr)k

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  • partial F3partial y=partialpartial y(2xy^2-z)=4xy
  • partial F2partial z=partialpartial z(xy-yz^2)=-2yz
  • partial F3partial x=partialpartial x(2xy^2-z)=2y^2
  • partial F1partial z=partialpartial z(xyz^3)=3xyz^2
  • partial F2partial x=partialpartial x(xy-yz^2)=y
  • partial F1partial y=partialpartial y(xyz^3)=xz^3

Passo 4

Agora montamos cada componente do rotacional:
  • Componente i: 4xy - (-2yz)=4xy+2yz
  • Componente j: -l(2y^2-3xyz^2r)=-2y^2+3xyz^2
  • Componente k: y - xz^3

Resposta

nablatimesF=(4xy+2yz),i+(-2y^2+3xyz^2),j+(y-xz^3),k, que não é o vetor zero. Portanto, o campo não é conservativo.

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