Determine se o campo F(x, y, z)=x z i+x y z j-y^2 k admite um potencial vetorial.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo F(x,y,z)=xz,i+xyz,j-y^2,k admite potencial escalar (ou potencial vetorial). O conteúdo envolvido é campo conservativo em R^3 e vamos precisar do teste do rotacional.

Passo 2

Em um domínio simplesmente conexo (como R^3), um campo F é conservativo se e somente se seu rotacional for o vetor nulo, isto é, se nablatimesF=0.

Passo 3

Primeiro identificamos as componentes de F=(P,Q,R):
P é a componente x de F e Q é a componente y e R é a componente z.
P = xz, Q = xyz, R = -y^2

Passo 4

Agora calculamos o rotacional x. Calculamos cada componente:
Componente (nablatimesF)x = partial Rpartial y - partial Qpartial z = -2y - x y:
y
Componente (nablatimesF)y = partial Ppartial z - partial Rpartial x = x - 0 = x:
z
Componente (nablatimesF)z = partial Qpartial x - partial Ppartial y = yz - 0 = yz:

Passo 5

Como pelo menos uma das componentes do rotacional (por exemplo x ou y) não é zero em geral, temos nablatimesFneq0. Portanto o campo não é conservativo e não admite potencial vetorial.

Resposta

O campo não admite potencial vetorial.

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