Calcule o laplaciano do campo escalar f(mu, theta, phi)=sin mu+sin theta+sin phi, em coordenadas hiperbólicas.

Passo 1

O enunciado pede o Laplaciano de
f(mu,theta,phi)=sinmu+sintheta+sinphi
em coordenadas hiperbólicas (sistema ortogonal com
ds^2 = dmu^2 + sinh^2mu,l(dtheta^2 + sin^2theta,dphi^2r)).
Vamos usar a fórmula do Laplaciano em coordenadas ortogonais, com fatores de escala
,hmu=1,;htheta=sinhmu,;hphi=sinhmu,sintheta, e
H=hmu htheta hphi=sinh^2musintheta.

Passo 2

Em coordenadas ortogonais o Laplaciano de f é
De<a f = 1Hl[ partialmul(H,hmu^-2,partialmu fr) +partialthetal(H,htheta^-2,partialtheta fr) +partialphil(H,hphi^-2,partialphi fr) r]
Como hmu=1,;htheta=sinhmu,;hphi=sinhmusintheta e
H=sinh^2mu sintheta, temos
H,hmu^-2 = sinh^2musintheta, H,htheta^-2 = sintheta, H,hphi^-2 = 1sintheta
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De<a f =1sinh^2mu,sinthetal[ partialmul(sinh^2mu,sintheta,partialmu fr) +partialthetal(sintheta,partialtheta fr) +partialphil(tfrac1sintheta,partialphi fr) r]

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f:
partialmu f = cosmu, partialmu^2 f = -sinmu, partialtheta f = costheta, partialtheta^2 f = -sintheta, partialphi f = cosphi, partialphi^2 f = -sinphi

Passo 4

Agora substituímos cada termo na expressão do Laplaciano:
  1. Termo mu:
partialmul(sinh^2mu,sintheta,partialmu fr) =sintheta,partialmul(sinh^2mu,cosmur) =sinthetal(2sinhmucoshmucosmu-sinh^2mu,sinmur)
Dividindo por sinh^2mu,sintheta
-,sinmu ;+;2,cothmu,cosmu
  1. Termo theta:
partialthetal(sintheta,partialtheta fr) =partialthetal(sinthetacosthetar) =cos^2theta-sin^2theta =cos2theta1,,
dividido por sinh^2mu,sintheta
cos2thetasinh^2mu,sintheta
  1. Termo phi:
partialphil(tfrac1sintheta,partialphi fr) =partialphil(tfraccosphisinthetar) =-sinphisintheta,
dividido por sinh^2mu,sintheta
-,sinphisinh^2mu,sin^2theta

Resposta

Somando os três termos, o Laplaciano fica
boxed De<a f = -,sinmu ;+;2,cothmu,cosmu ;+;cos2thetasinh^2mu,sintheta ;-;sinphisinh^2mu,sin^2theta

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