Um sistema de coordenadas hiperbólicas é definido pelas transformações
& x=cosh mu sin theta cos phi & y=cosh mu sin theta sin phi & z=sinh mu cos theta, mu in[0, infty), theta in[0, pi], phi in[0,2 pi)
(a) Defina os versores mu, theta e phi como aqueles que apontam nas direções de crescimento das respectivas variáveis. (Tais versores são os vetores são emu=partial rpartial mu, etheta=partial rpartial theta, ephi=partial rpartial phi normalizados.)
(b) Calcule o jacobiano e o elemento de volume d V nessas coordenadas.
(c) Calcule as transformações inversas u=u(x, y, z), v=v(x, y, z) e theta=theta(x, y, z).
(d) Calcule a métrica em coordenadas hiperbólicas. A métrica é ortogonal?
(e) Calcule os fatores de escala hmu, htheta e hphi.
(f) Calcule o gradiente, o divergente, o rotacional e o laplaciano nessas coordenadas.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema de coordenadas hiperbólicas em (x,y,z) definido por
x&=coshmu,sintheta,cosphi, y&=coshmu,sintheta,sinphi, z&=sinhmu,costheta,
com muin[0,infty), thetain[0,pi], phiin[0,2pi).
Conteúdo: geometria diferencial de coordenadas curvilíneas – cálculo de vetores-base, jacobiano, métrica ortogonal, fatores de escala e operadores diferenciais.
O que precisamos:
1. emu=partial rpartialmu, etheta=partial rpartialtheta, ephi=partial rpartialphi.
2. Jacobiano J=det(partial(x,y,z)/partial(mu,theta,phi)).
3. Inversão das relações para mu,theta,phi em termos de (x,y,z).
4. Produto interno dos ei para ver se a métrica é diagonal (ortogonal).
5. Fatores de escala hi=| ei|.
6. Fórmulas gerais em coordenadas ortogonais para nabla f, nablacdot A, nablatimes A e nabla^2 f.

Passo 2

Calculemos os vetores não-normalizados:
emu&=partial rpartialmu =l(sinhmu,sinthetacosphi,;sinhmu,sinthetasinphi,;coshmu,costhetar), etheta&=partial rpartialtheta =l(coshmu,costhetacosphi,;coshmu,costhetasinphi,;-sinhmu,sinthetar), ephi&=partial rpartialphi =l(-coshmu,sinthetasinphi,;coshmu,sinthetacosphi,;0r)

Passo 3

Normalizando cada um, definimos
hatmu= emu/hmu,
hattheta= etheta/htheta,
hatphi= ephi/hphi,
onde os hi serão calculados no passo 5.

Passo 4

Para o jacobiano,
J=detl[ emu, etheta, ephir] =coshmu,sintheta;l(sinh^2mu,sin^2theta+cosh^2mu,cos^2thetar)
Usando cosh^2mu,cos^2theta+sinh^2mu,sin^2theta=sinh^2mu+cos^2theta,
J=coshmu,sintheta;l(sinh^2mu+cos^2thetar)
Logo o elemento de volume é
dV =J,dmu,dtheta,dphi =coshmu,sinthetal(sinh^2mu+cos^2thetar),dmu,dtheta,dphi

Passo 5

As transformações inversas mais diretas são
phi=arctan2(y,x),
e a partir de
x^2+y^2=cosh^2mu,sin^2theta, z=sinhmu,costheta,
podemos escrever
theta =arccos!l(tfraczsinhmur), mu =arcsinh!l(tfraczcosthetar) =arccosh!l(tfracraizx^2+y^2sinthetar)
Essas fórmulas dão mu=mu(x,y,z) e theta=theta(x,y,z) de modo implícito, completando as inversões.

Passo 6

Produto interno mostra que emuperp etheta, emuperp ephi, ethetaperp ephi.
Logo a métrica é diagonal (ortogonal).

Passo 7

Normas (fatores de escala):
hmu&=| emu| =raizsinh^2mu,sin^2theta+cosh^2mu,cos^2theta =raizsinh^2mu+cos^2theta, htheta&=| etheta| =raizcosh^2mu,cos^2theta+sinh^2mu,sin^2theta =raizsinh^2mu+cos^2theta (=hmu), hphi&=| ephi| =coshmu,sintheta

Passo 8

Em coordenadas ortogonais (q1,q2,q3)=(mu,theta,phi) com h1=hmu, h2=htheta, h3=hphi, vale:
Gradiente de escalar f:
nabla f =sumi=1^3hat qihi,partial fpartial qi =hatmuhmu,partial fpartialmu +hatthetahtheta,partial fpartialtheta +hatphihphi,partial fpartialphi
Divergente de A=(Amu,Atheta,Aphi):
nabla!cdot A =1h1h2h3sumi=1^3 partialpartial qi l(h1cdotswidehathicdots h3;Air),
isto é
nabla!cdot A =1hmu,htheta,hphi l[ partialpartialmu(htheta hphi,Amu) +partialpartialtheta(hphi hmu,Atheta) +partialpartialphi(hmu htheta,Aphi) r]
Rotacional de A: aplicar a fórmula padrão em coordenadas ortogonais (cada componente envolve derivadas cruzadas divididas por produtos de hi).
Laplaciano de escalar f:
nabla^2 f =1h1h2h3sumi=1^3 partialpartial qi l(h1cdotswidehathicdots h3hi partial fpartial qir)
Substituindo nossos hmu,htheta,hphi nessas fórmulas, obtemos o gradiente, divergente, rotacional e laplaciano nas coordenadas hiperbólicas.

Resposta

(a) hatmu= emu/hmu,;hattheta= etheta/htheta,;hatphi= ephi/hphi com ei=partial r/partial qi.
(b) J=coshmu,sinthetal(sinh^2mu+cos^2thetar),
dV=J,dmu,dtheta,dphi.
(c) phi=arctan2(y,x),;theta=arccos!l(z/sinhmur),;mu=arcsinh!(z/costheta) ou equivalentemente mu=arccosh(raizx^2+y^2/sintheta).
(d) A métrica é ortogonal (produto interno eicdot ej=0 para ineq j).
(e) hmu=htheta=raizsinh^2mu+cos^2theta, hphi=coshmu,sintheta
(f)
nabla f =hatmuhmuf,mu +hatthetahthetaf,theta +hatphihphif,phi, nabla!cdot A =1hmu htheta hphi l[partialmu(htheta hphi Amu) +partialtheta(hphi hmu Atheta) +partialphi(hmu htheta Aphi)r],
rotacional conforme à fórmula ortogonal padrão,
nabla^2 f =1hmu htheta hphi sumi=mu,theta,phi partialqil(hmu htheta hphihi^2,partialqifr)

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