Um sistema de coordenadas hiperbólicas é definido pelas transformações
(a) Defina os versores
e
como aqueles que apontam nas direções de crescimento das respectivas variáveis. (Tais versores são os vetores são
normalizados.)
(b) Calcule o jacobiano e o elemento de volume
nessas coordenadas.
(c) Calcule as transformações inversas
e
.
(d) Calcule a métrica em coordenadas hiperbólicas. A métrica é ortogonal?
(e) Calcule os fatores de escala
e
.
(f) Calcule o gradiente, o divergente, o rotacional e o laplaciano nessas coordenadas.
(b) Calcule o jacobiano e o elemento de volume
(c) Calcule as transformações inversas
(d) Calcule a métrica em coordenadas hiperbólicas. A métrica é ortogonal?
(e) Calcule os fatores de escala
(f) Calcule o gradiente, o divergente, o rotacional e o laplaciano nessas coordenadas.
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema de coordenadas hiperbólicas em
definido por
com
,
,
.
Conteúdo: geometria diferencial de coordenadas curvilíneas – cálculo de vetores-base, jacobiano, métrica ortogonal, fatores de escala e operadores diferenciais.
O que precisamos:
.
,
,
.
. Jacobiano
.
. Inversão das relações para
em termos de
.
. Produto interno dos
para ver se a métrica é diagonal (ortogonal).
. Fatores de escala
.
. Fórmulas gerais em coordenadas ortogonais para
,
,
e
.
Conteúdo: geometria diferencial de coordenadas curvilíneas – cálculo de vetores-base, jacobiano, métrica ortogonal, fatores de escala e operadores diferenciais.
O que precisamos:
Passo 2
Calculemos os vetores não-normalizados:
Passo 3
Normalizando cada um, definimos
,
,
,
onde os serão calculados no passo
.
onde os
Passo 4
Para o jacobiano,
Usando
,
Logo o elemento de volume é
Passo 5
As transformações inversas mais diretas são
e a partir de
podemos escrever
Essas fórmulas dão
e
de modo implícito, completando as inversões.
Passo 6
Produto interno mostra que
,
,
.
Logo a métrica é diagonal (ortogonal).
Logo a métrica é diagonal (ortogonal).
Passo 7
Normas (fatores de escala):
Passo 8
Em coordenadas ortogonais
com
,
,
, vale:
Gradiente de escalar
:
Divergente de
:
isto é
Rotacional de
: aplicar a fórmula padrão em coordenadas ortogonais (cada componente envolve derivadas cruzadas divididas por produtos de
).
Laplaciano de escalar
:
Substituindo nossos
nessas fórmulas, obtemos o gradiente, divergente, rotacional e laplaciano nas coordenadas hiperbólicas.
Resposta
(a)
com
.
(b) ,
.
(c) ou equivalentemente
.
(d) A métrica é ortogonal (produto interno para
).
(e)
(f)
rotacional conforme à fórmula ortogonal padrão,
(b)
(c)
(d) A métrica é ortogonal (produto interno
(e)
(f)
rotacional conforme à fórmula ortogonal padrão,