Considere uma curva em
dada por
. Fixe
e seja
.
(a) Interprete geometricamente a quantidade
e o limite dessa quantidade quando
(b) Lembrando que se
é uma função real, diferenciável, então a derivada
indica a inclinação da reta tangente passando por (
), escreva a equação da reta tangente à curva
passando por
. (Dica: Escreva a equação no caso de gráfico de função e generalize)
(c) Generalize a equação de reta tangente para uma curva em
.
(a) Interprete geometricamente a quantidade
(b) Lembrando que se
(c) Generalize a equação de reta tangente para uma curva em
Passo 1
O enunciado trata de curvas parametrizadas em
e
. Precisamos interpretar geometricamente o quociente
ver seu limite quando
, escrever a reta tangente a uma curva em
no ponto
e, por fim, generalizar essa reta tangente para uma curva em
.
Passo 2
O vetor
é o vetor que liga o ponto
ao ponto
. Ao dividir por
, obtemos um vetor que representa a variação média da curva por unidade de parâmetro—ou seja, um vetor secante “normalizado” que aponta de
até
.
Passo 3
Quando fazemos
estamos passando da variação média para a variação instantânea. Esse limite, se existir, é exatamente o vetor derivada
que dá a direção e o sentido da tangente à curva em
.
Passo 4
No caso de gráfico de função
, o coeficiente angular da reta tangente em
é
, e a reta obedece
Para uma curva paramétrica
, a direção da tangente em
é
. Podemos então escrever a reta tangente em forma vetorial, usando um parâmetro auxiliar
:
Passo 5
A reta tangente à curva
ou em coordenadas
Em , o mesmo raciocínio dá a reta tangente
onde agora
.
Resposta
(a) O quociente
é o vetor secante “normalizado” (variação média) e seu limite para
é a derivada vetorial
, vetor tangente à curva.
(b) A reta tangente em é
(b) A reta tangente em
isto é,
(c) Para , a reta tangente em
mantém-se
(c) Para
com
.