Considere uma curva em R^2 dada por gamma(t)=(x(t), y(t)). Fixe t0 in R e seja h in R.
(a) Interprete geometricamente a quantidade gamma(t0+h)-gamma(t0)h e o limite dessa quantidade quando h 0
(b) Lembrando que se y=f(x) é uma função real, diferenciável, então a derivada y^prime(x0) indica a inclinação da reta tangente passando por ( (x0, f(x0) ), escreva a equação da reta tangente à curva gamma passando por gamma(t0). (Dica: Escreva a equação no caso de gráfico de função e generalize)
(c) Generalize a equação de reta tangente para uma curva em R^3: gamma(t)=(x(t), y(t), z(l)).

Passo 1

O enunciado trata de curvas parametrizadas em R^2 e R^3. Precisamos interpretar geometricamente o quociente
gamma(t0 + h)-gamma(t0)h,
ver seu limite quando hto0, escrever a reta tangente a uma curva em R^2 no ponto gamma(t0) e, por fim, generalizar essa reta tangente para uma curva em R^3.

Passo 2

O vetor
gamma(t0 + h)-gamma(t0)
é o vetor que liga o ponto gamma(t0) ao ponto gamma(t0+h). Ao dividir por h, obtemos um vetor que representa a variação média da curva por unidade de parâmetro—ou seja, um vetor secante “normalizado” que aponta de gamma(t0) até gamma(t0+h).

Passo 3

Quando fazemos
limhto0gamma(t0 + h)-gamma(t0)h,
estamos passando da variação média para a variação instantânea. Esse limite, se existir, é exatamente o vetor derivada
gamma'(t0),
que dá a direção e o sentido da tangente à curva em gamma(t0).

Passo 4

No caso de gráfico de função y=f(x), o coeficiente angular da reta tangente em (x0,f(x0)) é f'(x0), e a reta obedece
y - f(x0) = f'(x0),l(x - x0r)
Para uma curva paramétrica gamma(t)=(x(t),y(t)), a direção da tangente em t0 é gamma'(t0)=(x'(t0),y'(t0)). Podemos então escrever a reta tangente em forma vetorial, usando um parâmetro auxiliar s:

Passo 5

A reta tangente à curva
ou em coordenadas
Em , o mesmo raciocínio dá a reta tangente
onde agora .

Resposta

(a) O quociente tfracgamma(t0+h)-gamma(t0)h é o vetor secante “normalizado” (variação média) e seu limite para hto0 é a derivada vetorial gamma'(t0), vetor tangente à curva.
(b) A reta tangente em gamma(t0) é
ell(s)=gamma(t0)+s,gamma'(t0),
isto é,
;x=x(t0)+s,x'(t0),;y=y(t0)+s,y'(t0)
(c) Para gamma(t)=(x(t),y(t),z(t))subsetR^3, a reta tangente em t0 mantém-se
ell(s)=gamma(t0)+s,gamma'(t0),
com gamma'(t0)=(x'(t0),y'(t0),z'(t0)).

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