Questão 1 Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries:
\sum_{n=1}{+\infty}(-1){n} n x^{n}.
\sum_{n=1}{+\infty}(-1){n} n x^{n}.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
O conteúdo principal aqui é o Teste da Razão para séries de potências, que nos dará o raio
. Depois, precisamos checar a convergência nos extremos
.
Passo 2
Aplicamos o Teste da Razão. Considere o termo geral
Calculemos
O teste diz que a série converge se
L<1 , isto é, se
lvert xrvert<1 .
Passo 3
Do resultado do Teste da Razão obtemos o raio de convergência
Passo 4
Agora examinamos os extremos.
Para
x=1 a série vira
cujo termo geral
(-1)^nn não tende a zero (ele cresce em módulo). Logo diverge.
Passo 5
Para
x=-1 a série fica
que é claramente divergente (soma de
n cresce sem limite).
Resposta
Raio de convergência:
R=1 .
Intervalo de convergência:(-1,1) (não converge em
x=pm1 ).
Intervalo de convergência: