Questão 1 Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries:
\sum_{n=1}{+\infty}(-1){n} n x^{n}.

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=1^+infty(-1)^n,n,x^n
O conteúdo principal aqui é o Teste da Razão para séries de potências, que nos dará o raio R. Depois, precisamos checar a convergência nos extremos x=pm1.

Passo 2

Aplicamos o Teste da Razão. Considere o termo geral
an = (-1)^n,n,x^n
Calculemos
L ;=;limntoinftyl|an+1anr| =limntoinftyl|(-1)^n+1(n+1)x^n+1(-1)^nn,x^nr| =limntoinftyn+1n,l|xr| =l|xr|
O teste diz que a série converge se L<1, isto é, se lvert xrvert<1.

Passo 3

Do resultado do Teste da Razão obtemos o raio de convergência
R = 1

Passo 4

Agora examinamos os extremos.
Para x=1 a série vira
sumn=1^+infty(-1)^nn,
cujo termo geral (-1)^nn não tende a zero (ele cresce em módulo). Logo diverge.

Passo 5

Para x=-1 a série fica
sumn=1^+infty(-1)^n,n,(-1)^n =sumn=1^+inftyn,
que é claramente divergente (soma de n cresce sem limite).

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: (-1,1) (não converge em x=pm1).

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