Calcule o laplaciano do campo escalar f(r, theta, phi)=r^2+r^3 sin ^4 theta+3 tan phi, em coordenadas esféricas. Este item é uma repetição do item 8, por favor verifique se deseja remover este item ou o item 8

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do laplaciano de
f(r,theta,phi)=r^2+r^3sin^4theta+3tanphi
em coordenadas esféricas. Para isso usamos a fórmula do laplaciano em esféricas:
nabla^2f=1r^2partialpartial rl(r^2partial fpartial rr) +1r^2sinthetapartialpartialthetal(sintheta,partial fpartialthetar) +1r^2sin^2theta,partial^2fpartialphi^2

Passo 2

Calculamos primeiro a parte radial.
partial fpartial r=2r+3r^2sin^4theta,
r^2partial fpartial r=2r^3+3r^4sin^4theta,
partialpartial rl(r^2partial fpartial rr) =6r^2+12r^3sin^4theta
Logo a contribuição radial é
1r^2l(6r^2+12r^3sin^4thetar) =6+12rsin^4theta

Passo 3

Agora a parte em theta.
partial fpartialtheta =4r^3sin^3thetacostheta,
sintheta,partial fpartialtheta =4r^3sin^4thetacostheta,
partialpartialthetal(sintheta,partial fpartialthetar) =4r^3l(4sin^3thetacos^2theta-sin^5thetar)
Dividindo por r^2sintheta vem
1r^2sinthetacdot4r^3(4sin^3thetacos^2theta-sin^5theta) =4rl(4sin^2thetacos^2theta-sin^4thetar)
Isto é
16rsin^2thetacos^2theta-4rsin^4theta

Passo 4

Finalmente a parte em phi.
partial fpartialphi=3sec^2phi,
partial^2fpartialphi^2 =6sec^2phitanphi
Dividindo por r^2sin^2theta obtemos
1r^2sin^2theta,6sec^2phitanphi =6tanphi,sec^2phir^2sin^2theta

Passo 5

Somando todas as contribuições:
radial 6+12rsin^4theta, polar 16rsin^2thetacos^2theta-4rsin^4theta e azimutal dfrac6tanphi,sec^2phir^2sin^2theta. Agrupando os termos em r:
12rsin^4theta-4rsin^4theta=8rsin^4theta,
e mantendo 16rsin^2thetacos^2theta, temos
nabla^2f =6 +8rsin^4theta +16rsin^2thetacos^2theta +6tanphi,sec^2phir^2sin^2theta

Resposta

nabla^2f =6 +rl(8sin^4theta+16sin^2thetacos^2thetar) +6tanphi,sec^2phir^2sin^2theta

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