(a) Mostre que se
são duas soluções da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
, então qualquer combinação linear destas soluções continua a ser solução, isto é:
é também solução (princípio de superposição).
(b) Mostre que se
é uma solução particular da equação linear não homogênea
, então a solução geral para esta equação é dada por:
onde
são duas soluções fundamentais da equação diferencial linear homogênea associada:
.
(b) Mostre que se
Passo 1
O enunciado pede (a) mostrar o princípio de superposição para a equação homogênea
e (b) mostrar que a solução geral da não-homogênea
é dada por
onde
formam um sistema fundamental da homogênea e
é uma solução particular. Vamos usar a linearidade do operador diferencial de segunda ordem
que satisfaz
Passo 2
Definimos
Pela propriedade de linearidade de
, para quaisquer funções
e constantes
vale
Passo 3
Como
e
são soluções da homogênea, temos
e
. Então
ou seja
também satisfaz
. Isso prova o item (a).
Passo 4
Para (b), seja
uma solução particular de
ou seja
. Defina
Pela linearidade,
logo
é solução da não-homogênea.
Passo 5
Para ver que toda solução
de
tem essa forma, considere
Então
ou seja
é solução da homogênea e pode ser escrita como
.
Passo 6
Concluímos que qualquer solução da não-homogênea é
o que prova o item (b).
Resposta
(a) Se
satisfazem
então
também é solução (princípio de superposição).
(b) A solução geral de
(b) A solução geral de
é