(a) Mostre que se y1(x), y2(x) são duas soluções da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem y^prime prime+p(x) y^prime+q(x) y=0, então qualquer combinação linear destas soluções continua a ser solução, isto é: y(x)=alpha1 y1(x)+alpha2 y2(x) é também solução (princípio de superposição).
(b) Mostre que se yp(x) é uma solução particular da equação linear não homogênea y^prime prime+ p(x) y^prime+q(x) y=f(x), então a solução geral para esta equação é dada por: z(x)= yp(x)+alpha1 y1(x)+alpha2 y2(x) onde y1(x), y2(x) são duas soluções fundamentais da equação diferencial linear homogênea associada: y^prime prime+p(x) y^prime+q(x) y=0.

Passo 1

O enunciado pede (a) mostrar o princípio de superposição para a equação homogênea
y''+p(x),y'+q(x),y=0
e (b) mostrar que a solução geral da não-homogênea
y''+p(x),y'+q(x),y=f(x)
é dada por
y(x)=yp(x)+alpha1y1(x)+alpha2y2(x),
onde y1,y2 formam um sistema fundamental da homogênea e yp é uma solução particular. Vamos usar a linearidade do operador diferencial de segunda ordem
L[y]=y''+p(x),y'+q(x),y,
que satisfaz
L[alpha u+beta v]=alpha,L[u]+beta,L[v]

Passo 2

Definimos
L[y]=y''+p(x),y'+q(x),y
Pela propriedade de linearidade de L, para quaisquer funções u,v e constantes alpha,beta vale
L[alpha u+beta v] =alpha,L[u]+beta,L[v]

Passo 3

Como y1 e y2 são soluções da homogênea, temos L[y1]=0 e L[y2]=0. Então
L[alpha1y1+alpha2y2] =alpha1L[y1]+alpha2L[y2] =0,
ou seja y=alpha1y1+alpha2y2 também satisfaz L[y]=0. Isso prova o item (a).

Passo 4

Para (b), seja yp uma solução particular de
L[y]=f(x),
ou seja L[yp]=f. Defina
z(x)=yp(x)+yh(x), yh(x)=alpha1y1(x)+alpha2y2(x)
Pela linearidade,
L[z]=L[yp]+L[yh] =f+0 =f,
logo z é solução da não-homogênea.

Passo 5

Para ver que toda solução w de L[w]=f tem essa forma, considere
u(x)=w(x)-yp(x)
Então
L[u]=L[w]-L[yp] =f-f =0,
ou seja u é solução da homogênea e pode ser escrita como u=alpha1y1+alpha2y2.

Passo 6

Concluímos que qualquer solução da não-homogênea é
w(x)=yp(x)+alpha1y1(x)+alpha2y2(x),
o que prova o item (b).

Resposta

(a) Se y1,y2 satisfazem y''+p,y'+q,y=0 então
y(x)=alpha1y1(x)+alpha2y2(x)
também é solução (princípio de superposição).
(b) A solução geral de
y''+p,y'+q,y=f
é
y(x)=yp(x)+alpha1y1(x)+alpha2y2(x)

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