Mostre que, em cada caso, a função
proposta é solução da e.d.o. Encontre uma segunda solução e escreva a solução geral,
(a)
.
(b)
.
[Resp: (a)
(b)
(a)
(b)
[Resp: (a)
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, em cada uma das equações
a função proposta
é uma solução, e então usar o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução
e montar a solução geral. O conteúdo é justamente solução de e.d.o. lineares de segunda ordem por redução de ordem: assumimos
e reduzimos a equação a uma para
.
Passo 2
(a) Verificamos que
satisfaz
então
logo é solução.
Passo 3
Ainda em (a), colocamos
e escrevemos a e.d.o. em forma padrão
de onde
e usando a fórmula de redução de ordem para
:
Integrando,
Assim
Desprezando o termo
(é proporcional a
), escolhemos
Passo 4
A solução geral de (a) fica
Passo 5
(b) Verificamos que
satisfaz
e
logo é solução.
Passo 6
Ainda em (b), definimos
e passamos a e.d.o. para a forma padrão
de onde
. Para
vale
Integrando,
Logo
e desprezamos
. Assim
Passo 7
A solução geral de (b) fica
Resposta
(a)
, solução geral
.
(b) , solução geral
.
(b)