Mostre que, em cada caso, a função y1(x) proposta é solução da e.d.o. Encontre uma segunda solução e escreva a solução geral,
(a) x^2 y^prime prime-2 y=0 ; y1(x)=x^2.
(b) x^2 y^prime prime-3 x y^prime+4 y=0 ; y1(x)=x^2.
[Resp: (a) y2(x)=-1 /(3 x), (b) y2(x)=x^2 ln |x|]

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, em cada uma das equações
x^2y''-2y=0, x^2y''-3xy'+4y=0,
a função proposta y1(x)=x^2 é uma solução, e então usar o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução y2(x) e montar a solução geral. O conteúdo é justamente solução de e.d.o. lineares de segunda ordem por redução de ordem: assumimos y2=u(x)y1(x) e reduzimos a equação a uma para u'(x).

Passo 2

(a) Verificamos que y1(x)=x^2 satisfaz
y1'(x)=2x, y1''(x)=2,
então
x^2y1''-2y1 =x^2cdot2-2cdot x^2 =2x^2-2x^2=0,
logo é solução.

Passo 3

Ainda em (a), colocamos
y2(x)=u(x),x^2,
e escrevemos a e.d.o. em forma padrão
y''-2x^2,y=0,
de onde P(x)=0 e usando a fórmula de redução de ordem para w=u':
w'+l(2y1'y1+Pr)w ;=; w'+4xw=0 ;Longrightarrow; w=Cx^-4
Integrando,
u(x)=integral w,dx =Cintegral x^-4dx =-C3x^3+D
Assim
y2(x) =l(-tfracC3x^3+Dr)x^2 =-C3x+D,x^2
Desprezando o termo Dx^2 (é proporcional a y1), escolhemos
y2(x)=-13x

Passo 4

A solução geral de (a) fica
y(x) =C1x^2+C2l(-13xr)

Passo 5

(b) Verificamos que y1(x)=x^2 satisfaz
y1'(x)=2x, y1''(x)=2,
e
x^2y1''-3x y1'+4y1 =x^2cdot2-3xcdot2x+4x^2 =2x^2-6x^2+4x^2=0,
logo é solução.

Passo 6

Ainda em (b), definimos
y2(x)=u(x),x^2
e passamos a e.d.o. para a forma padrão
y''-3xy'+4x^2y=0,
de onde P(x)=-3/x. Para w=u' vale
w'+l(2y1'y1+Pr)w =w'+l(4x-3xr)w =w'+1xw=0 ;Longrightarrow; w= Cx
Integrando,
u(x)=integral Cx,dx =Clnlvert xrvert +D
Logo
y2(x) =(Clnlvert xrvert +D)x^2 =C,x^2lnlvert xrvert +D,x^2,
e desprezamos Dx^2. Assim
y2(x)=x^2lnlvert xrvert

Passo 7

A solução geral de (b) fica
y(x) =C1x^2+C2,x^2lnlvert xrvert

Resposta

(a) y2(x)=-tfrac13x, solução geral y=C1x^2+C2(-tfrac13x).
(b) y2(x)=x^2lnlvert xrvert, solução geral y=C1x^2+C2,x^2lnlvert xrvert.

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