Determine em qual região do plano x y a função f(x, y)=ln (1-x^2-y^2) é contínua.

Passo 1

O enunciado pede para achar a região do plano xy em que
f(x,y)=lnl(1 - x^2 - y^2r)
é contínua. Aqui o conteúdo é estudo de domínio de funções elementares (logaritmo) e continuidade de composições.

Passo 2

Para que lnl(1 - x^2 - y^2r) esteja definida (e contínua), seu argumento deve ser estritamente positivo:
1 - x^2 - y^2 > 0
que equivale a
x^2 + y^2 < 1

Passo 3

Sabemos que polinômios e a função identidade são contínuos em R^2, que a função g(z)=1-z é contínua em R, e que ln(z) é contínua em (0,infty). Como composição de funções contínuas é contínua, concluímos que f é contínua exatamente onde seu argumento existe, ou seja, no interior do círculo unitário.

Resposta

A função f(x,y)=lnl(1 - x^2 - y^2r) é contínua na região
(x,y)inR^2 mid x^2 + y^2 < 1

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