Calcule o laplaciano do campo escalar f(u, v, theta)=u^2+v^2+u v sin theta, em coordenadas parabólicas.

Passo 1

O enunciado pede o laplaciano do campo escalar
f(u,v,theta)=u^2+v^2+u,vsintheta
em coordenadas parabólicas tridimensionais (u,v,theta). Vamos usar a definição do laplaciano em coordenadas ortogonais.

Passo 2

Em parabolicas 3D definimos
x=u,vcostheta, y=u,vsintheta, z=tfrac12(u^2-v^2),
cujo sistema é ortogonal com fatores de escala
hu=raizu^2+v^2, hv=raizu^2+v^2, htheta=u,v

Passo 3

Em coordenadas ortogonais (q1,q2,q3) com fatores hi,
nabla^2 f = 1h1h2h3l[ partialpartial q1l(h2h3h1partial fpartial q1r) +partialpartial q2l(h1h3h2partial fpartial q2r) +partialpartial q3l(h1h2h3partial fpartial q3r) r]
Substituindo q1=u, q2=v, q3=theta e os hi acima, temos
h1h2h3=(u^2+v^2),u,v, h2h3h1=u,v, h1h3h2=u,v, h1h2h3=u^2+v^2u,v

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais de f:
partial fpartial u=2u+vsintheta, partial fpartial v=2v+usintheta, partial fpartial theta=u,vcostheta

Passo 5

Agora as três parcelas do numerador:
partialpartial ul(u,v,(2u+vsintheta)r) =partialpartial u(2u^2v+u,v^2sintheta) =4u,v+v^2sintheta,
partialpartial vl(u,v,(2v+usintheta)r) =partialpartial v(2u,v^2+u^2vsintheta) =4u,v+u^2sintheta,
partialpartial thetal(u^2+v^2u,v,u,vcosthetar) =partialpartial thetal((u^2+v^2)costhetar) =-(u^2+v^2)sintheta
Somando essas três expressões:
(4uv+v^2sintheta)+(4uv+u^2sintheta)-(u^2+v^2)sintheta =8u,v

Passo 6

Logo
nabla^2 f =1h1h2h3,(8u,v) =8u,v(u^2+v^2),u,v =8u^2+v^2

Resposta

nabla^2 f(u,v,theta)=8u^2+v^2

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