Nos exercícios a seguir, encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência
e o intervalo de convergência da série de potências
Este é um problema de séries de potências; vamos usar o Teste da Razão para encontrar
e depois testar os casos
e
para determinar o intervalo exato.
Passo 2
Aplicamos o Teste da Razão às parcelas genéricas
Calculamos
Como
o teste da razão diz que a série converge se
Logo o raio de convergência é
Passo 3
Agora verificamos
x=1 . A série torna-se
Esta é uma série alternada cujos termos em módulo
1/(n+1) são monótonos decrescentes e tendem a zero. Pelo Critério de Leibniz, ela converge.
Passo 4
Para
x=-1 temos
que é a série harmônica deslocada e diverge.
Resposta
O raio de convergência é
R=1 e o intervalo de convergência é