Nos exercícios a seguir, encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries.
sumn=0^infty(-1)^n x^nn+1

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^infty(-1)^n,x^nn+1
Este é um problema de séries de potências; vamos usar o Teste da Razão para encontrar R e depois testar os casos x=1 e x=-1 para determinar o intervalo exato.

Passo 2

Aplicamos o Teste da Razão às parcelas genéricas
an = (-1)^n,x^nn+1
Calculamos
|an+1an| = |(-1)^n+1,x^n+1/(n+2)(-1)^n,x^n/(n+1)| = |x|;n+1n+2
Como
limntoinftyn+1n+2=1,
o teste da razão diz que a série converge se
limntoinfty|an+1an| = |x| < 1
Logo o raio de convergência é
R = 1

Passo 3

Agora verificamos x=1. A série torna-se
sumn=0^infty(-1)^n,1^nn+1 = sumn=0^infty(-1)^n,1n+1
Esta é uma série alternada cujos termos em módulo 1/(n+1) são monótonos decrescentes e tendem a zero. Pelo Critério de Leibniz, ela converge.

Passo 4

Para x=-1 temos
sumn=0^infty(-1)^n,(-1)^nn+1 = sumn=0^infty1n+1,
que é a série harmônica deslocada e diverge.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é
(-1,,1]

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