Esboce o gráfico e determine o domínio e a imagem:
f(x)=ccc e^x & se & x <= 0 2+sen(x) & se & 0<x <= 2 pi

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(x)= e^x, & x<=0, 2+sin(x), & 0<x<=2pi,
e pede (i) o esboço do gráfico, (ii) o domínio e (iii) a imagem. Vamos usar propriedades da exponencial e do seno para cada ramo.

Passo 2

O domínio de f é a reunião dos dois intervalos onde ela está definida, isto é
xmid x<=0cupxmid0<x<=2pi ;=;(-infty,2pi]

Passo 3

No ramo x<=0, f(x)=e^x. Como
limxto-inftye^x=0^+ e e^0=1,
o conjunto de valores desse ramo é (0,1].

Passo 4

No ramo 0<x<=2pi, f(x)=2+sin(x). Sabemos que sin(x)in[-1,1], logo
2+sin(x)in[2-1,2+1]=[1,3]
Nesse intervalo x atinge sin(x)=-1 em x=3pi/2 e sin(x)=1 em x=pi/2, então todo o intervalo [1,3] é efetivamente percorrido.

Passo 5

Unindo as imagens dos dois ramos, obtemos
(0,1];cup;[1,3];=;(0,3]

Passo 6

Para esboçar o gráfico:
  • No eixo x<=0, desenhe a curva decrescente y=e^x, que tende a 0 para xto-infty e vale 1 em x=0 (marque um ponto cheio em (0,1)).
  • No eixo 0<x<=2pi, desenhe a curva y=2+sin(x), um seno deslocado para cima em 2. Em xto0^+ vale 2 (ponto aberto em (0,2)), em x=pi/2 atinge 3, em x=3pi/2 atinge 1 e em x=2pi volta a 2 com ponto cheio em (2pi,2).

Resposta

Domínio: (-infty,2pi]
Imagem: (0,3]

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