Calcule o Laplaciano da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
e precisamos calcular o Laplaciano dela. O Laplaciano é uma operação que envolve as derivadas de segunda ordem da função em relação a cada variável. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem de
em relação a
e a
, e depois somar esses resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. Isso significa que vamos derivar
considerando
como uma constante.
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa derivar
novamente em relação a
.
Derivando em relação a
:
(O termo
é tratado como uma constante quando derivamos em relação a
, então sua derivada é zero.)
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, chamada de
. Aqui derivamos
considerando
como uma constante.
Derivando em relação a
:
Passo 5
Em seguida, calculamos a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Isso significa derivar
novamente em relação a
.
Derivando em relação a
:
(O termo
é tratado como uma constante quando derivamos em relação a
, então sua derivada é zero.)
Passo 6
Finalmente, o Laplaciano de
é a soma das segundas derivadas parciais que calculamos:
Resposta
O Laplaciano da função
é
.