Calcule o Laplaciano da função f(x, y)=x^3 y+2 x cdot cos y

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função f(x, y) = x^3 y + 2x cdot cos y e precisamos calcular o Laplaciano dela. O Laplaciano é uma operação que envolve as derivadas de segunda ordem da função em relação a cada variável. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem de f em relação a x e a y , e depois somar esses resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a x , que chamamos de fx . Isso significa que vamos derivar f considerando y como uma constante.
f(x, y) = x^3 y + 2x cdot cos y
Derivando em relação a x :
fx = partial fpartial x = 3x^2 y + 2 cos y

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de f em relação a x , ou seja, fxx . Isso significa derivar fx novamente em relação a x .
fx = 3x^2 y + 2 cos y
Derivando em relação a x :
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 6x y + 0 = 6x y
(O termo 2 cos y é tratado como uma constante quando derivamos em relação a x , então sua derivada é zero.)

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a y , chamada de fy . Aqui derivamos f considerando x como uma constante.
f(x, y) = x^3 y + 2x cdot cos y
Derivando em relação a y :
fy = partial fpartial y = x^3 - 2x cdot sin y

Passo 5

Em seguida, calculamos a segunda derivada parcial de f em relação a y , ou seja, fyy . Isso significa derivar fy novamente em relação a y .
fy = x^3 - 2x cdot sin y
Derivando em relação a y :
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 0 - 2x cdot cos y = -2x cdot cos y
(O termo x^3 é tratado como uma constante quando derivamos em relação a y , então sua derivada é zero.)

Passo 6

Finalmente, o Laplaciano de f é a soma das segundas derivadas parciais que calculamos:
nabla^2 f = fxx + fyy = 6x y - 2x cdot cos y

Resposta

O Laplaciano da função f(x, y) é nabla^2 f = 6x y - 2x cdot cos y .

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