Dado
, calcule
e
no ponto
.
Passo 1
Beleza, temos que calcular o gradiente de uma função e a magnitude desse gradiente no ponto dado. A função é
e o ponto é
. Vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar o gradiente (
) e depois calcular a magnitude (
) desse vetor no ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função
é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a cada variável. Ou seja,
Passo 3
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, podemos montar o vetor gradiente:
Passo 5
Vamos substituir as coordenadas do ponto
nas componentes do gradiente:
- Para
, , :
Passo 6
Então, o gradiente no ponto
é:
Passo 7
Agora, para encontrar a magnitude do gradiente (
), usamos a fórmula da norma de um vetor:
Resposta
O gradiente de
no ponto
é
e a magnitude desse gradiente é aproximadamente
.