Dado f=2 x z^4-x^2 y, calcule nabla f e |nabla f| no ponto P(2,-2,1).

Passo 1

Beleza, temos que calcular o gradiente de uma função e a magnitude desse gradiente no ponto dado. A função é f = 2xz^4 - x^2y e o ponto é P(2, -2, 1) . Vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar o gradiente ( nabla f ) e depois calcular a magnitude ( |nabla f| ) desse vetor no ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função f(x, y, z) é um vetor que contém as derivadas parciais de f em relação a cada variável. Ou seja,
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z )

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a x :
partial fpartial x = partialpartial x (2xz^4) - partialpartial x (x^2y) = 2z^4 - 2xy
  1. Derivada parcial em relação a y :
partial fpartial y = partialpartial y (2xz^4) - partialpartial y (x^2y) = 0 - x^2 = -x^2
  1. Derivada parcial em relação a z :
partial fpartial z = partialpartial z (2xz^4) - partialpartial z (x^2y) = 8xz^3 - 0 = 8xz^3

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, podemos montar o vetor gradiente:
nabla f = ( 2z^4 - 2xy, -x^2, 8xz^3 )

Passo 5

Vamos substituir as coordenadas do ponto P(2, -2, 1) nas componentes do gradiente:
  1. Para x = 2 , y = -2 , z = 1 :
partial fpartial x = 2(1)^4 - 2(2)(-2) = 2 + 8 = 10
partial fpartial y = -(2)^2 = -4
partial fpartial z = 8(2)(1)^3 = 16

Passo 6

Então, o gradiente no ponto P(2, -2, 1) é:
nabla f = (10, -4, 16)

Passo 7

Agora, para encontrar a magnitude do gradiente ( |nabla f| ), usamos a fórmula da norma de um vetor:
|nabla f| = raiz(10)^2 + (-4)^2 + (16)^2 = raiz100 + 16 + 256 = raiz372
|nabla f| = raiz372 approx 19,31

Resposta

O gradiente de f no ponto P(2, -2, 1) é nabla f = (10, -4, 16) e a magnitude desse gradiente é aproximadamente 19,31 .

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