Para os seguintes campos de vetores encontre o rotacional no ponto indicado:
A(x, y, z)=3 x y^2 imath-x y^2 z +4 x 2 ln y k^+
P=(4,2,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é encontrar o rotacional (ou curl) do campo vetorial A(x, y, z) = 3x y^2 imath -x y^2 z jmath + 4x^2 ln y k no ponto P = (4, 2, 2) . Para isso, vamos precisar entender como calcular o rotacional de um campo vetorial, que envolve derivadas parciais das componentes do campo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do rotacional de um campo vetorial A = Ax imath + Ay jmath + Az k . O rotacional é dado por:
nabla times A = ( partial Azpartial y - partial Aypartial z ) imath - ( partial Azpartial x - partial Axpartial z ) jmath + ( partial Aypartial x - partial Axpartial y ) k
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais passo a passo.

Passo 3

Vamos identificar as componentes do vetor A :
Ax = 3x y^2, Ay = -x y^2 z, Az = 4x^2 ln y
Agora, vamos calcular as derivadas necessárias:
  1. partial Azpartial y :
partialpartial y ( 4x^2 ln y ) = 4x^2 cdot 1y
  1. partial Aypartial z :
partialpartial z ( -x y^2 z ) = -x y^2
  1. partial Azpartial x :
partialpartial x ( 4x^2 ln y ) = 8x ln y
  1. partial Axpartial z :
partialpartial z ( 3x y^2 ) = 0 (já que não tem z) áã
  1. partial Aypartial x :
partialpartial x ( -x y^2 z ) = -y^2 z
  1. partial Axpartial y :
partialpartial y ( 3x y^2 ) = 6x y

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do rotacional:
nabla times A = ( 4x^2 cdot 1y - (-x y^2) ) imath - ( 8x ln y - 0 ) jmath + ( -y^2 z - 6x y ) k
Simplificando cada componente:
  1. Componente imath :
4x^2 cdot 1y + x y^2 = 4x^2y + x y^2
  1. Componente jmath :
-8x ln y
  1. Componente k :
- y^2 z - 6x y

Passo 5

Agora, vamos substituir o ponto P = (4, 2, 2) nos valores de x, y, z :
  1. Para a componente imath :
4(4)^22 + 4 cdot (2)^2 = 4 cdot 162 + 4 cdot 4 = 642 + 16 = 32 + 16 = 48
  1. Para a componente jmath :
-8 cdot 4 cdot ln 2 = -32 ln 2 approx -32 cdot 0.6931 approx -22.1792
  1. Para a componente k :
- (2)^2 cdot 2 - 6 cdot 4 cdot 2 = -4 cdot 2 - 48 = -8 - 48 = -56

Resposta

O rotacional do campo vetorial A no ponto P = (4, 2, 2) é:
nabla times A = 48, imath - 22.1792, jmath - 56, k

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