Para os seguintes campos de vetores encontre o rotacional no ponto indicado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A tarefa é encontrar o rotacional (ou curl) do campo vetorial
no ponto
. Para isso, vamos precisar entender como calcular o rotacional de um campo vetorial, que envolve derivadas parciais das componentes do campo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do rotacional de um campo vetorial
. O rotacional é dado por:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais passo a passo.
Passo 3
Vamos identificar as componentes do vetor
:
Agora, vamos calcular as derivadas necessárias:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
-
:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do rotacional:
Simplificando cada componente:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Passo 5
Agora, vamos substituir o ponto
nos valores de
:
- Para a componente
:
- Para a componente
:
- Para a componente
:
Resposta
O rotacional do campo vetorial
no ponto
é: