Calcule o laplaciano da função varphi dada.
varphi(x, y)=14(e^x^2-y^2)

Passo 1

O enunciado pede o laplaciano da função
varphi(x,y)=14e^x^2-y^2
O conteúdo da matéria é cálculo de derivadas parciais de segunda ordem em duas variáveis e a soma dessas derivadas, isto é,
De<a varphi = partial^2varphipartial x^2 + partial^2varphipartial y^2

Passo 2

Calcular a primeira derivada parcial em x. Como
varphi(x,y)=14e^x^2-y^2,
têm-se
partial varphipartial x =14cdot e^x^2-y^2cdot 2x =x2,e^x^2-y^2

Passo 3

Calcular a segunda derivada parcial em x. Derivando
x2e^x^2-y^2 em relação a x, obtemos
partial^2varphipartial x^2 =12e^x^2-y^2 +x2cdot e^x^2-y^2cdot 2x =l(tfrac12 + x^2r)e^x^2-y^2

Passo 4

Calcular as derivadas parciais em y. Primeiro,
partial varphipartial y =14,e^x^2-y^2cdot(-2y) =-y2,e^x^2-y^2
Em seguida, a segunda derivada em y é
partial^2varphipartial y^2 =-12e^x^2-y^2 +l(-tfracy2r)cdot e^x^2-y^2cdot(-2y) =l(y^2-tfrac12r)e^x^2-y^2

Passo 5

Somando as segundas derivadas em x e y, o laplaciano é
De<a varphi =partial^2varphipartial x^2 +partial^2varphipartial y^2 =l(tfrac12 + x^2r)e^x^2-y^2 +l(y^2-tfrac12r)e^x^2-y^2 =(x^2+y^2),e^x^2-y^2

Resposta

boxedDe<a varphi(x,y)=(x^2+y^2),e^x^2-y^2

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