Sejam u, v: Omega subset R^3 R^3, dois campos vetoriais e varphi: Omega R um campo escalar. Em cada caso, faça hipóteses adequadas sobre varphi, u, e v e prove (suponha u=P imath+Q jmath+R k e v=P1 imath+Q1 jmath+R1 k):
div(u, v)=div u+div v

Passo 1

O enunciado pede pra gente provar que a operação de divergente é linear, ou seja, que
div(vec u + vec v)=divvec u + divvec v
A matéria aqui é cálculo vetorial (operadores diferenciais) e vamos precisar da definição de divergente e da propriedade de linearidade das derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos dizer as hipóteses que garantem que tudo faça sentido: suponha que as componentes de vec u e vec v sejam funções com derivadas parciais contínuas em Omega. Assim a divergente está bem definida e podemos trocar soma e derivada.

Passo 3

Lembra da definição de divergente? Se
vec u = P(x,y,z),vecimath + Q(x,y,z),vecjmath + R(x,y,z),vec k
e
vec v = P1(x,y,z),vecimath + Q1(x,y,z),vecjmath + R1(x,y,z),vec k
então
divvec u = partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z
e de forma análoga para divvec v.

Passo 4

Agora olha o campo vec u + vec v. Somando componente a componente, dá:
vec u + vec v = (P + P1),vecimath + (Q + Q1),vecjmath + (R + R1),vec k
Como a divergente só soma as derivadas parciais, temos
div(vec u + vec v) = partialpartial x(P + P1) + partialpartial y(Q + Q1) + partialpartial z(R + R1)

Passo 5

Usando a linearidade das derivadas parciais (isto é, partialx(f+g)=partialx f + partialx g), cada termo se separa em duas partes. Então
div(vec u + vec v) = l(partial Ppartial x + partial P1partial xr) + l(partial Qpartial y + partial Q1partial yr) + l(partial Rpartial z + partial R1partial zr)
Agrupando, reconhecemos exatamente
(partial Ppartial x + partial Qpartial y + partial Rpartial z) + (partial P1partial x + partial Q1partial y + partial R1partial z)

Passo 6

E esses parênteses são, pela definição, divvec u e divvec v. Pronto, mostramos que divergência de soma é soma de divergências!

Resposta

div(vec u + vec v)=divvec u+divvec v

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