Sejam
, dois campos vetoriais e
um campo escalar. Em cada caso, faça hipóteses adequadas sobre
e prove (suponha
e
Passo 1
O enunciado pede pra gente provar que a operação de divergente é linear, ou seja, que
A matéria aqui é cálculo vetorial (operadores diferenciais) e vamos precisar da definição de divergente e da propriedade de linearidade das derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos dizer as hipóteses que garantem que tudo faça sentido: suponha que as componentes de
e
sejam funções com derivadas parciais contínuas em
. Assim a divergente está bem definida e podemos trocar soma e derivada.
Passo 3
Lembra da definição de divergente? Se
e
então
e de forma análoga para
.
Passo 4
Agora olha o campo
. Somando componente a componente, dá:
Como a divergente só soma as derivadas parciais, temos
Passo 5
Usando a linearidade das derivadas parciais (isto é,
), cada termo se separa em duas partes. Então
Agrupando, reconhecemos exatamente
Passo 6
E esses parênteses são, pela definição,
e
. Pronto, mostramos que divergência de soma é soma de divergências!