Determine se o campo é conservativo ou não. Se conservativo determine a função potencial.
& F(x, y, z)=y z i+x z j+x y k & F(x, y, z)=2 x y i+(x^2+2 y z) j+y^2 k

Passo 1

O enunciado dá dois campos vetoriais em R^3 e pede para verificar se cada um é conservativo. O conteúdo usado é o teste do rotacional (curl) num domínio simplesmente conexo e, se o rotacional for nulo, determinar a função potencial phi tal que nablaphi=F.

Passo 2

Para o campo
F1(x,y,z)=y z,i+x z,j+x y,k,
calculamos o rotacional nablatimesF1 cujas componentes são
(partial R/partial y-partial Q/partial z,;partial P/partial z-partial R/partial x,;partial Q/partial x-partial P/partial y)
Aqui P=yz, Q=xz e R=xy, portanto
partial R/partial y=x, partial Q/partial z=x, partial P/partial z=y, partial R/partial x=y,
partial Q/partial x=z, partial P/partial y=z
Substituindo, cada diferença dá zero, logo
nablatimesF1=0,
o que mostra que F1 é conservativo em R^3.

Passo 3

Para achar a potencial phi1 satisfazendo nablaphi1=F1, integramos P=yz em x:
phi1(x,y,z)=integral yz,dx = x y z + g(y,z)
Derivando em relação a y temos
phi1,y=x z + gy(y,z)overset!=Q=x z
logo gy(y,z)=0 e g=g(z). Em seguida
phi1,z=x y + g'(z)overset!=R=x y
implica g'(z)=0. Assim
phi1(x,y,z)=x y z + C

Passo 4

Para o segundo campo
F2(x,y,z)=2 x y,i+l(x^2+2 y zr),j+y^2,k,
fazemos o mesmo teste. Aqui P=2xy, Q=x^2+2yz, R=y^2. Calculando as derivadas parciais relevantes, verifica-se que todas as diferenças partial R/partial y-partial Q/partial z, partial P/partial z-partial R/partial x e partial Q/partial x-partial P/partial y são zero. Logo
nablatimesF2=0,
e F2 também é conservativo.

Passo 5

Para obter a potencial phi2, integramos P=2xy em x:
phi2(x,y,z)=integral 2xy,dx = x^2y + g(y,z)
Derivando em y:
phi2,y=x^2 + gy(y,z)overset!=Q=x^2+2yz
gy(y,z)=2yz, então
g(y,z)=integral 2yz,dy = y^2z + h(z)
Finalmente, exigindo phi2,z=y^2 + h'(z)=R=y^2 vemos que h'(z)=0. Assim
phi2(x,y,z)=x^2y+y^2z + C

Resposta

Os dois campos são conservativos.
Para F1:
phi1(x,y,z)=x,y,z + C
Para F2:
phi2(x,y,z)=x^2y + y^2z + C

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