Determine se o campo é conservativo ou não. Se conservativo determine a função potencial.
Passo 1
O enunciado dá dois campos vetoriais em
e pede para verificar se cada um é conservativo. O conteúdo usado é o teste do rotacional (curl) num domínio simplesmente conexo e, se o rotacional for nulo, determinar a função potencial
tal que
.
Passo 2
Para o campo
calculamos o rotacional
cujas componentes são
Aqui
,
e
, portanto
Substituindo, cada diferença dá zero, logo
o que mostra que
é conservativo em
.
Passo 3
Para achar a potencial
satisfazendo
, integramos
em
:
Derivando em relação a
temos
logo
e
. Em seguida
implica
. Assim
Passo 4
Para o segundo campo
fazemos o mesmo teste. Aqui
,
,
. Calculando as derivadas parciais relevantes, verifica-se que todas as diferenças
,
e
são zero. Logo
e
também é conservativo.
Passo 5
Para obter a potencial
, integramos
em
:
Derivando em
:
dá
, então
Finalmente, exigindo
vemos que
. Assim
Resposta
Os dois campos são conservativos.
Para :
Para
Para
: