Exercício 4. Esboce e calcule o comprimento dos arcos nos intervalos correspondentes.
x=13 raizy(y-3), 1 <= y <= 9.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica invertida
x=tfrac13raizy,(y-3), 1<= y<=9,
pede que a gente esboce o gráfico (em que para 1<= y<=3 temos x<=0 e para 3<= y<=9 temos x>=0) e calcule o comprimento dos arcos nos intervalos 1<= y<=3 e 3<= y<=9.
O que vamos usar é a fórmula de comprimento de arco quando x=f(y):
L=integraly1^y2raiz1+l(f'(y)r)^2,dy

Passo 2

Primeiro encontramos a derivada
x=tfrac13l(y^1/2(y-3)r) =tfrac13l(y^3/2-3y^1/2r),
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dxdy =tfrac13l(tfrac32y^1/2-tfrac32y^-1/2r) =tfrac12l(y^1/2-y^-1/2r)

Passo 3

Agora calculamos
1+l(dxdyr)^2 =1+tfrac14(y^1/2-y^-1/2)^2 =1+tfrac14l(y-2+tfrac1yr) =tfrac14l(y+2+tfrac1yr)
Repare que y+2+tfrac1y=(raiz y+tfrac1raiz y)^2, então
raiz1+(dx/dy)^2 =tfrac12l(raiz y+tfrac1raiz yr)

Passo 4

Montamos a integral de comprimento de y=1 a y=9:
L =integral1^9tfrac12l(y^1/2+y^-1/2r),dy =tfrac12l[tfrac23y^3/2+2y^1/2r]1^9 =l[tfrac13y^3/2+y^1/2r]1^9

Passo 5

Avaliaremos em y=9 e y=1:
em y=9 temos tfrac13cdot9^3/2+9^1/2 =tfrac13cdot27+3=9+3=12,
em y=1 temos tfrac13cdot1+1=tfrac13+1=tfrac43.
Assim o comprimento total é
L1to9=12-tfrac43=tfrac323
Separamos em dois arcos:
para 1<= y<=3:
L1to3 =l[tfrac13y^3/2+y^1/2r]1^3 = l(2raiz3r)-tfrac43 =2raiz3-tfrac43,
e para 3<= y<=9:
L3to9 =L1to9-L1to3 =tfrac323-l(2raiz3-tfrac43r) =12-2raiz3

Passo 6

Esboço qualitativo: a curva parte em l(x(1),1r)=(-tfrac23,1) com inclinação nula, cruza em (0,3) e chega em l(x(9),9r)=(6,9) com inclinação positiva crescente.

Resposta

Comprimento do arco de y=1 a y=3:
L1to3=2raiz3-tfrac43
Comprimento do arco de y=3 a y=9:
L3to9=12-2raiz3
Comprimento total de y=1 a y=9:
L1to9=tfrac323

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