Exercício 4. Esboce e calcule o comprimento dos arcos nos intervalos correspondentes.
.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica invertida
pede que a gente esboce o gráfico (em que para
temos
e para
temos
) e calcule o comprimento dos arcos nos intervalos
e
.
O que vamos usar é a fórmula de comprimento de arco quando :
O que vamos usar é a fórmula de comprimento de arco quando
Passo 2
Primeiro encontramos a derivada
logo
Passo 3
Agora calculamos
Repare que
, então
Passo 4
Montamos a integral de comprimento de
a
:
Passo 5
Avaliaremos em
e
:
em temos
,
em temos
.
Assim o comprimento total é
em
em
Assim o comprimento total é
Separamos em dois arcos:
para :
e para :
para
e para
Passo 6
Esboço qualitativo: a curva parte em
com inclinação nula, cruza em
e chega em
com inclinação positiva crescente.
Resposta
Comprimento do arco de
a
:
Comprimento do arco de
a
:
Comprimento total de
a
: